### 完全背包求方案数二维降一维的推导过程

设第$i$个物品的体积:$v=w[i]$

二维递推式
$f[i][j]   = f[i-1][j]+$<font color='red'>$f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+...+f[i-1][j - (j/v) * v ]$</font> ①

尝试计算$f[i][j-v]$:
$f[i][j-v]=  f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+...+f[i-1][(j-v) - (j-v)/v * v ]$

化简与等价变型
$(j-v) - (j-v)/v * v =  j-v -(j/v)*v+v=  j - (j/ v)*v$

$\therefore f[i][j-v]=             $<font color='red'>$f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+...+f[i-1][ j - (j/ v)*v]$</font> ②

将②代入①得：
$f[i][j]   = f[i-1][j]+f[i][j-v]$

根据$01$背包优化的经验，我们知道从小到大去填充的话，就可以去掉第一维

得$f[j]=f[j]+f[j-v]$

即 $f[j]+=f[j-w[i]]$