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三个点都是动点，不太好整，我们可以先视其中一个点为定点，然后再想办法继续求解，现在视$D$为定点，从$D$引关于$AB,AC$对称的对称点$D_2,D_1$
,则$D_1D_2$应该就是最小值，其中$D_1D_2$与$AB,AC$的交点就是$F,E$点。
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/999d57466cfa6791fd51b7656134382c.png)

现在的问题转化为$D_1D_2$就是最短的，但问题是$D_1D_2$不是唯一的，也没有求解出来答案啊！



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我们继续思考,由于$AB$是$DD_2$的垂直平分线，$AC$是$DD_1$的垂直平分线，所有有$\angle D_2AB=\angle BAD,\angle DAC=\angle CAD_1$
而 $\angle BAC=45^{\circ}$,所以$\angle D_2AD_1$就是我们梦寐以求的直角三角形！！
$D_2D_1$就是斜边！！

$AD_2=AD=AD_1$,所以$\triangle AD_2D_1$是直角等腰三角形。

现在如果我们能求解出$AD_2$,那么$\sqrt{2}AD_2$就是答案。
$AD_2$什么时候最短呢？也就是$AD$什么时候最短呢？很显然，就是从$A$做一条$BC$的垂线时最短！引辅助线$AH \perp  BC$,$\sqrt{2}AH$就是答案！

而$\angle ACD=60^{\circ}$,所以$CH=1/2AC=4$
$\therefore AH=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$

所以答案：$4\sqrt{3} \times \sqrt{2}=4\sqrt{6}$