## 图论-多源最短路径（$Floyd$算法）

### 一、$Floyd$
$Floyd$算法是一次性求所有结点之间的最短距离，能处理负权边的图，程序比暴力的$DFS$更简单，但是复杂度是$O(n^3)$，只适合 $n < 200$的情况。
$Floyd$运用了 **动态规划** 的思想，求 $i 、 j$两点的最短距离，可分两种情况考虑，即经过图中某个点 $k$的路径和不经过点 $k$ 的路径，**取两者中的最短路径**。


- 判断负圈
眼尖的人儿可能发现邻接矩阵 $mp$ 中， $mp[i][i]$并没有赋初值$0$，而是 $inf$。并且计算后 $mp[i][i]$的值也不是 $0$，而是 $mp[i][i]=mp[i][u]+……+mp[v][i]$，即从外面绕一圈回来的最短路径，而这正 **用于判断负圈**，即 $mp[i][i]<0$。

相关变形结合题目讲，如：负圈、打印路径、最小环、传递闭包

记录坑点：**重复边**，保留最小的那个。


### 二、模板
```cpp {.line-numbers}
void floyd() {
	for (int k = 1; k <= n; k++)
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (g[i][k] != inf)  //优化
				for (int j = 1; j <= n; j++)
					if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
						g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
}
```

### 三、例题

#### [$POJ-3259$ $Wormholes$](https://link.juejin.cn/?target=https%3A%2F%2Fvjudge.net%2Fproblem%2FPOJ-3259)

**类型**
判负环

**题意**
- 正常路是$m$条双向正权边 
- 虫洞是$w$条单向负权边 
- 题目让判断是否有负权回路

**办法**
利用$Floyd$找两点间花费的最短时间，判断从起始位置到起始位置的最短时间是否为负值（判断负权环），若为负值，说明他通过虫洞回到起始位置时比自己最初离开起始位置的时间早。

**代码实现**:
在第二重循环，求完第$i$个结点后判断。$i$到$i$之间的最短距离是一个负值，说明存在一个经过它的负环。

```cpp {.line-numbers}
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int N = 502;
int n, m, w;
int g[N][N];

// floyd判断是否存在负圈
bool floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (g[i][k] != INF) { // 优化
                for (int j = 1; j <= n; j++)
                    if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
                        g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
                if (g[i][i] < 0) return true; // 发现负圈
            }
    return false;
}
int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> m >> w;
        memset(g, INF, sizeof g); // 初始化邻接矩阵

        // 双向正值边
        while (m--) {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            // 注意坑：重边
            g[a][b] = g[b][a] = min(c, g[a][b]);
        }
        // 单向负值边
        while (w--) {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            g[a][b] = -c; // 负值边
        }

        if (floyd())
            puts("YES");
        else
            puts("NO");
    }
    return 0;
}
```

#### [$HDU-1385$ $Minimum$ $Transport$ $Cost$](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1385)

**类型**
打印路径

**题意**
给你所有城市到其他城市的道路成本和经过每个城市的城市税，给你很多组城市，要求你找出每组城市间的最低运输成本并且输出路径，如果有多条路径则输出字典序最小的那条路径。**注意**，起点城市和终点城市不需要收城市税。

**分析**
输出路径，多个答案则输出字典序最小的，无法到达输出$-1$。
读入邻接表， $cost[]$记录每个城市额外费用， $path[][]$记录路径，比如 $path[i][j]=k$ 表示 $i$到 $j$的路径是 $i$先到 $k$，再从 $k$到 $j$，$floyd()$里维护即可。然后处理下输出(比较恶心)。




https://juejin.cn/post/6935691567696969764