## $KMP$算法

### 一、$KMP$是做什么用的?
$KMP$全称为$Knuth$ $Morris$ $Pratt$算法，三个单词分别是三个作者的名字。$KMP$是一种高效的字符串匹配算法，用来在主字符串中查找模式字符串的位置(比如在“$hello,world$”主串中查找“$world$”模式串的位置)。

### 二、$KMP$算法的高效体现在哪?

高效性是通过和其他字符串搜索算法对比得到的，在这里拿暴力朴素算法做一下对比。主要的思想是在主串的$[0, n-m]$区间内依次截取长度为$m$的子串，看子串是否和模式串一样($n$是主串的长度，$m$是子串的长度)。举个例子如下：给定文本串$S$,“$aaaababaaba$”，和模式串$P$,“$ababa$”，现在要拿模式串$P$去跟文本串$S$匹配，整个过程如下所示：

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202311281459416.png)

**动画展示**
<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/b94917233cee4d0e96bb3fed7ed819c1.gif#pic_center'></center>

暴力算法的时间复杂度是$O(N*N)$，存在很大优化空间。当模式串和主串匹配时，遇到模式串中某个字符不能匹配的情况，对于模式串中已经匹配过的那些字符，如果我们能找到一些规律，将模式串多往后移动几位，而不是像暴力算法算法一样，每次把模式串移动一位，就可以提高算法的效率。


$kmp$算法给我们提供的思路是：对于模式串，将每一个字符在匹配失败时可以向后移动的最大距离保存在一个$prefix$数组中，有的也叫$next$数组。这样当匹配失败时就可以按照$prefix$数组中保存的数字向后多移动几位。从而提高算法的效率。
#### 动画展示
<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/f8fcd6aa1b5a47c6aa261da2deca95a5.gif#pic_center'></center>

### 三、什么是前缀数组$prefix$
在$KMP$算法中有个关键的数组，叫做前缀数组，也有的叫$next$数组，每一个子串有一个固定的$next$数组，它记录着字符串匹配过程中失配情况下可以向后多跳几个字符，其实也是子串的前缀和后缀相同的最长长度。说不明白，上图：

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202311281501075.png)

怎么求这个数组我们放在最后说，先说怎么使用这个前缀数组来实现$kmp$算法

### 四、算法思路
思路好像也已经说过了，就是在暴力的算法的基础上，在匹配失败的时候往后多跳几位，而跳几位保存在前缀数组中。接下来我们看一下原理是什么样的，为什么前缀数组就可以作为跳几步的依据。

举个例子，下图中已经写好了总串$s$和模式串$p$,模式串的前缀数组为$[0,0,1,2,3]$,且所以下标都是从$1$开始。看图中当$i=8，j=4$时$s[i] != p[j + 1]$，即将要匹配失败了，图中红色圈住的是子串的后缀。黄圈圈住的是前缀。蓝色圈圈住的是已经和后缀匹配过的部分，那么下一次将模式串后移$prefix[j]=2$位时，原来的前缀正好对着蓝色圈圈部分，因为前缀=后缀=蓝色圈圈部分，所以移动后的橙色部分就不用再判断了。

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202311281502618.png)

再用上一个双指针算法思路。$i$遍历总串$s$，$j$遍历模式串$p$，判断$s[i]$ 和 $p[j + 1]$是否匹配。不匹配就将$j$重置为前缀数组中$prefix[j]$的值。匹配的话$j$往后移动一位。当匹配了$n$个字符后即代表完全匹配。此时答案即为$i-n$，如果要继续搜索，要将$j$再置为$prefix[j]$。

为了方便写代码所有数组的下标都从$1$开始

```cpp {.line-numbers}
// 求源串中模式串出现的每个位置
for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
    while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
    if (s[i] == p[j + 1]) j++;
    if (j == n) {
        printf("%d ", i - n);
        j = ne[j]; // 继续搜索，重置 j=ne[j]
    }
}
```
### 五、怎么求前缀数组?
前缀数组是$kmp$里面最难的部分，网上也有很多种求法。比如利用后一个元素和前面的元素之间存在数学公式关系来求，我们这里使用的方式是和上面的匹配过程类似的方法，也就是将前缀看作模式串，在$p$中匹配他。也就是字符串$p$自己找自己的匹配串。

### 六、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1000010;
int n, m, ne[N];
char s[N], p[N];

int main() {
    cin >> n >> (p + 1) >> m >> (s + 1);
    // 一、求ne数组
    // i:当前试图进行匹配的S串字符，j+1是模板串当前试图与S串i位置进行匹配的字符
    // j:表示已匹配的长度，一直都在尝试让j+1位和i位进行匹配,退无可退，无需再退。
    // i:是从2开始的，因为ne[1]=0,表示第1个不匹配，只能重头开始，不用算
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        // 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
        if (p[i] == p[j + 1]) j++;
        // 记录j到ne数组中
        ne[i] = j;
    }

    // 二、匹配字符串
    // i:当前试图进行对比的S串位置
    // j:最后一个已完成匹配的P串位置，那么，当前试图与S串当前位置i进行尝试对比匹配的位置是j+1
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 不行就退吧,当j==0时，表示退无可退，无需再退
        // 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
        if (s[i] == p[j + 1]) j++; // 匹配则指针前行，i不用++，因为它在自己的for循环中，自带++
        if (j == n) {              // 如果匹配到最大长度，说明完成了所有位置匹配
            printf("%d ", i - n);  // 输出开始匹配位置
            j = ne[j];             // 回退，尝试继续进行匹配，看看还有没有其它可以匹配的位置
        }
    }
    return 0;
}
```

### 七、练习题

**[洛谷 $P3375$ 【模板】](https://www.luogu.com.cn/problem/P3375)**

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1000010;
int n, m, ne[N];
char s[N], p[N];

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P3375.in", "r", stdin);
#endif
    cin >> (s + 1) >> (p + 1);            // 先长串，再短串
    n = strlen(p + 1), m = strlen(s + 1); // 自已来测长

    // 求模式串ne数组
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (p[i] == p[j + 1]) j++;
        ne[i] = j;
    }

    // 求源串中模式串出现的每个位置
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (s[i] == p[j + 1]) j++;
        if (j == n) {
            printf("%d\n", i - n + 1);
            j = ne[j]; // 继续搜索，重置 j=ne[j]
        }
    }
    // 本题要求最后输出模式串的ne数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ne[i] << " ";
    return 0;
}
```


**[洛谷 $P4391$ [$BOI2009$]$Radio$ $Transmission$ 无线传输](https://www.luogu.com.cn/problem/P4391)**

这道题是$KMP$的经典应用：**求循环节**。

根据$next$数组的性质，我们可以知道一个字符串前缀等于后缀的最大长度$l$，这字符串全长为$L$ ，那么这个字符串的循环节长度就是 $L - l$。

为什么是这样呢？看下面这张图就很容易理解了。

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202311281618395.png)

很显然，这个字符串的循环节长度为$2$。

**解释**：
设字串长度为 $x$，字符串从 $1$ 开始计数 
$next[1]=next[2]=……next[x]=0$ 
$next[x+1]=1 next[x+n]=n$ 
发现从 $x+1$ 位置开始，$next$ 数组逐渐递增 $1$

所以答案为 $n-next[n]$ 

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int n, ne[N];
char p[N];

int main() {
    cin >> n >> (p + 1);
    // 求模式串ne数组
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        if (p[i] == p[j + 1]) j++;
        ne[i] = j;
    }
    printf("%d", n - ne[n]);
    return 0;
}
```
### 八、参考资料

**[代码随想录的理论篇](https://www.bilibili.com/video/BV1PD4y1o7nd)**

**[代码随想录的代码篇](https://www.bilibili.com/video/BV1M5411j7Xx)**