## 2023.8.20 _码客行_编程公益课 在线评估

1. 师大附小六年级学生有$400$名学生参加期末测试，平均$92$分，其中男生的平
均分为$96$分，女生的平均分为$80$分，参加竞赛的男生比女生多多少人？

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
cout<<"男生比女生多"<< 200 <<"人。"<<endl;
return 0;
}
```

**解：简单方程，略**

2. 奇奇和马克在学习进位加法，可是他俩还是喜欢不进位的计算。于是他俩想知道$0$~$5999$中有多少个数与$1234$相加时，不会发生进位。

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    cout<<”有”<<  <<”个数。”<<endl;
    return 0
}
```
**解**： 本题考查乘法原理

千位可取值为$(0-8)$
百位可取值为$(0-7)$
十位可取值为$(0-6)$
个位可取值为$(0-5)$
所以一共有$9*8*7*6=3024$
但是，由于$0 \sim 5999$,所以千位上要有限制，最大不能到达$6$,也就是$0 \sim 5$,
$6*8*7*6$

> **练习题**：
> 在$1$到$9999$有多少个正整数在与$4567$相加时,至少在一个数位中发生进位
> **答案**：考虑都不进位的情况
千位可取值为$(0-5)$
百位为$(0-4)$
十位为$(0-3)$
个位为$(0-2)$
所以一共有$6*5*4*3-1=359$个
发生进位的数有$9999-359=9640$个

1. 奇奇和马克在马路一侧同向而行。马克步行，行走速度为$3.6$千米/时。奇奇
骑着自行车，速度为$10.8$千米/时。这时有一辆公共汽车从他们背后开过来，
公共汽车通过马克用了$6$秒，通过奇奇用了$10$秒。请计算并输出这辆公共汽
车车身的长度。（单位：米）

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    cout<<”这辆公共汽车车身长度为”<< 30 <<”米。”<<endl;
    return 0;
}

```
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/{year}/{month}/{md5}.{extName}/202308210805721.png)

**注：本题考查千米/小时转化为 米/秒后进行计算**

4. 马克用橡皮泥捏了一些特殊的动物形象。动物$1$有$1$头$1$脚、动物$2$有$2$头$4$
脚、动物$3$有$1$头$3$脚、动物$4$有$1$头$4$脚。所有橡皮泥捏完后，马克数了一下
所有动物共有$45$个头、$119$只脚，且动物$4$的数量恰好是动物$2$的$2$倍，现在
请你计算并输出动物$1$有多少只？

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    cout<<”动物1有”<< 8 <<”只。”<<endl;
    return 0;
}
```
解：

$$
\large \left\{\begin{matrix}
a+2b+c+d=45 & ①\\ 
a+4b+3c+4d=119 &  ②\\ 
d=2b  & ③\\
\end{matrix}\right.
$$


将 ③  代入 ①,② 得到
$$
\large \left\{\begin{matrix}
a+4b+c=45 & ④ \\ 
a+12b+3c=119 & ⑤ 
\end{matrix}\right.
$$

④ $\times$ $3$

$$
\large \left\{\begin{matrix}
3a+12b+3c=135 & \\ 
a+12b+3c=119 & 
\end{matrix}\right.
$$

上下相减
得到$2a=16$
解得$a=8$


5. 爸爸、妈妈、马克三人的苹果数不一样，爸爸的苹果最多，他拿出一些分给
妈妈和马克，使得妈妈和马克的苹果数都比原来增加了$2$倍，现在妈妈的苹
果数又最多，妈妈又拿出一些分给爸爸和马克，使爸爸和马克的苹果数各增
加了$2$倍，最后马克的苹果数又最多，最后，马克也拿出一些分给爸爸和妈
妈，使爸爸和妈妈的苹果数各增加$2$倍。最终三个人的苹果数一样多，他们
三人一共有$162$个苹果 ，求三人原来各有多少个苹果？爸爸（ ）个，妈妈（
）个，马克（ ）个。
```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
cout<<”最初，爸爸有”<<110 <<”个苹果，妈妈有”<<38 <<”个苹
果，马克有”<<14 <<”个苹果。”;
return 0
}
```
倒推法，不再赘述


6.由于绘画工的辞职，马克所在的公司剩下一批需要绘画的工作，同时公司每
天还有新的固定数量的绘画工作增加。绘画工作是以页计数的，且每个绘画
工工作速度是相同固定的。秘书告诉马克，如果现在雇佣$5$名工人，$24$天可
以完成所有工作；如果聘用$9$名工人，$12$天可以完成所有工作。最终，马克
聘用了一些员工，工作$8$天后，由于业务减少，每天新增的工作量降为原来
的一半，最终这些员工用$40$天刚好完成了所有的工作。请计算并输出马克实
际聘用的员工数。

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    cout<<”马克实际雇佣了”<< 3 <<”名员工。”<<endl;
    return 0;
}
```
解：
设原有的任务数为$S$,每天增加的为$V$,最终雇佣了$n$个员工,则有方程：
$5*24=S+24*V$ ①
$9*12=S+12*V$ ②

解方程得$12V=12$
$\therefore V=1,S=96$

$S+8*V+1/2*V*32=40*n$
将值代入
$96+8+16=40n$
$n=3$

<font color='red' size=4><b>总结：就是一个披着雇佣工人外貌的牛吃草问题</b></font>

7. 马克入住的宾馆$2$楼有$20$个房间，此时房间所有灯都是开着的。马克从$1$号房
间开始，第一次按下$1$号房间的开关，第二次按下$2,3$号房间的开关，第三次
按下$4,5,6$号房间的开关，……第$20$次按下所有房间的开关。请问，最后灯
亮着的房间数。

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    cout<<”最后亮灯的房间有”<< 10 <<”间。”<<endl;
    return 0;
}
```
解：
**最开始灯都是开着的，所以，按奇数下是关了，按偶数下是开了**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 21;
int b[N];

int main() {
    int start = 1;
    for (int i = 1; i <= 20; i++) {
        cout << "i=" << i << "，按下的房间号：";
        for (int j = start; j < start + i; j++) {
            if (j > 20) {
                b[j - 20]++;
                cout << j - 20 << " ";
            } else {
                b[j]++;
                cout << j << " ";
            }
        }
        cout << endl;
        start = start + i;
        if (start > 20) start = start - 20;
    }

    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= 20; i++)
        if (b[i] % 2 == 0) cnt++;

    cout << "最后亮灯的房间数：" << cnt << endl;
    return 0;
}
```

```cpp {.line-numbers}
i=1，按下的房间号：1 
i=2，按下的房间号：2 3
i=3，按下的房间号：4 5 6
i=4，按下的房间号：7 8 9 10
i=5，按下的房间号：11 12 13 14 15
i=6，按下的房间号：16 17 18 19 20 1
i=7，按下的房间号：2 3 4 5 6 7 8
i=8，按下的房间号：9 10 11 12 13 14 15 16
i=9，按下的房间号：17 18 19 20 1 2 3 4 5
i=10，按下的房间号：6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
i=11，按下的房间号：16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 
i=12，按下的房间号：7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
i=13，按下的房间号：19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
i=14，按下的房间号：12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5
i=15，按下的房间号：6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
i=16，按下的房间号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
i=17，按下的房间号：17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
i=18，按下的房间号：14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
i=19，按下的房间号：12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i=20，按下的房间号：11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最后亮灯的房间数：10
```


8. 一个快钟每时比标准时间快$8$分，一个慢钟每时比标准时间慢$7$分。将两个钟
同时调到标准时间，结果在$24$时内，快钟显示$9$点整时，慢钟恰好显示$7$点整。
此时的标准时间是多少？

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    cout<<”此时的标准时间是”<< <<”点”<< <<”分”<<endl;
    return 0;
}
```
**解**：
每小时快钟比慢钟快$8+7=15$分钟,$9$点与$7$点相差$120$分钟,即走了$120÷15=8$小时,故快钟比标准时间快了$8×8=64$分钟,即此时的标准时间是$7$点$56$分。

9. 一个自然数除$429$、$791$、$500$所得的余数分别是$x+5$、$2x$、$x$，这个自然数是多少？

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    cout<<”这个自然数是”<<  <<”。”<<endl;
    return 0;
}
```

**编码解法**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int main() {
    for (int i = 1;; i++) {
        int a = 429 % i, b = 791 % i, c = 500 % i;
        if (a == c + 5 && b == 2 * c) {
            cout << i << endl;
            cout << "a=" << a << ",b=" << b << ",c=" << c << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}
```

**数学解法**

设这个数为$K$,得：
$429-(x+5)=mK$,

即
$429-(x+5)=mK -> 424=mK+x$
$791-2x=nK   \ \ \ \ \ \ \ \ \  -> 791=nK+2x$
$500-x=pK \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -> 500=pK+x$

得：$76=(p-m)K$
$57=(2m-n)K$
$209=(2p-n)K$

所以$K$是$76,57,209$的公约数
$76=4*19$
$57=3*19$
$209=11*19$
所以$K$为$19$.


10. 马克的碗中有纯蔗糖 $100$ 克，奇奇的杯子中有水 $200$ 克。首先，马克将部
分纯蔗糖倒入奇奇的杯子里。接着，奇奇又将自己杯子中的糖水倒入马克的碗中。
此时，马克碗中蔗糖含量为 $50\%$ ，奇奇杯子中蔗糖含量为$25\%$。
现在请你计算并输出马克碗里此时有糖水多少克？

```cpp {.line-numbers}
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    cout<<”奇奇杯子中此时有糖水”<< 100 <<”克。”<<endl;
    return 0;
}
```

**解**：
不管你中间怎么折腾，最终的糖和水的重量不会改变。

设最后马克碗中糖水重为$x$克，则奇奇杯中糖水重为$100+200-x$克。

$50\% \times x + (300-x) \times 25 \%=100$

$0.5x+75-0.25x=100$
$x=100$