##[$AcWing$ $99$. 激光炸弹](https://www.acwing.com/problem/content/description/101/)
### 一、题目描述
地图上有 $N$ 个目标，用整数 $X_i,Y_i$ 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 $W_i$。

**注意**：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 $R×R$ 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 $x，y$ 轴平行。

求一颗炸弹 **最多** 能炸掉地图上 **总价值为多少** 的目标。

**输入格式**
第一行输入正整数 $N$ 和 $R$，分别代表地图上的目标数目和正方形包含的横纵位置数量，数据用空格隔开。

接下来 $N$ 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 $X_i,Y_i,W_i$，分别代表目标的 $x$ 坐标，$y$ 坐标和价值，数据用空格隔开。

**输出格式**
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

**数据范围**
$0≤R≤10^9$
$0<N≤10000$
$0≤X_i,Y_i≤5000$
$0≤W_i≤1000$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
2 1
0 0 1
1 1 1
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
1
```


### 二、解题思路

**二维前缀和问题**

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202310271113264.png)


#### $1$、二维前缀和要注意空间受限
* ① 想使用二维前缀和，需要先看一下数据范围:$0<=X_i,Y_i<=5000$
 对于二维数组而言，每维开到$5000$可不是一个小数字，要小心！
 
 因为数组是$5000 \times 5000$，占用空间 $5000 \times 5000 \times 4bytes=5000 \times 5000 \times 4/1024/1024MB=95MB$
 
 回头看一下内存的上限范围：$168MB$，也就是开一个$5000 \times 5000$的数组没有问题，但是不能开两个，开两个将$MLE$!

 不能开两个是啥意思?为啥要思考两个的问题？

 因为我们对于前缀和，一般喜欢用一个原始数组$a[N][N]$,再开一个前缀和数组$s[N][N]$,这样按传统就是两个数组啦~，现在看来只能开一个,也就是不保存原始数组，直接在原始数组上加和得到前缀和数组。

#### $2$、前缀和要注意下标从$1$开始 
$x,y$坐标是从$0$开始的,我们一般的一维前缀和、二维前缀和，下标是从$1$开始的, **需要做一下坐标的$+1$变换**

#### $3$、二维前缀和要注意点与格子的区别，加$0.5$进行偏移

先用测试用例模拟一下，你就会明白，原来这个炸弹的方框，不是说刮着边就能把某个坐标炸掉，而且必须 <font color='red' size=4><b>包着</b></font> 某个坐标才行！

**解决办法：整体偏移$0.5$**


#### $4$、注意数据范围
炸弹的范围会超过$5000$，而且如果是范围是$0$直接返回$0$

### 四、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5010, M = 5001;
// 前缀和数组
int s[N][N];

int main() {
    // n:点的数量，R:边长
    int n, R;
    cin >> n >> R;

    // 这里本题数据有些坑，R有时输入会比我们整个矩阵大，所以这里设置输入的R过大，就直接取M
    R = min(R, M); // R太大，对于我们来说没有意义，因为它>5001时，就把所有位置全部摧毁掉~

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x, y, w;
        cin >> x >> y >> w;
        // 因为每题的(x,y)是默认下标从0开始，与前缀和的习惯不太相符，所以，这里直接将原坐标x+1,y+1，映射到下标从(1,1)开始
        x++, y++;     // 0≤Xi,Yi≤5000
        s[x][y] += w; // 不同目标可能在同一位置,s数组同时也充当了a数组
    }

    // 二维前缀和公式
    for (int i = 1; i <= M; i++)
        for (int j = 1; j <= M; j++)
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

    // 枚举所有边长为R的正方形，取最大值就OK了(枚举的是右下角) => (R-1)*(R-1)的矩阵
    int res = 0;
    for (int i = R; i <= M; i++)
        for (int j = R; j <= M; j++) // 二维前缀和应用
            res = max(res, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]);

    // 输出结果
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}
```