### 问题：$13$能否整除$9^{36}-1$、$9^{39}-1$?

#### 费马小定理 

假如$p$是质数，且$gcd(a,p)=1$，那么 <font color='red'><b>$$\huge  \displaystyle a^{p-1}≡1\ (mod \  p)$$
</b></font> 

本题中，$p=13$，是质数。$a=9$,$gcd(a,p)=1$,满足费马小定理，所以利用其得到结论：

$\large \displaystyle \because 9^{p-1}=9^{13-1}=9^{12}$

$\large \displaystyle \therefore 9^{12}\equiv 1 (mod \ 13)$

$\large \displaystyle \therefore (9^{12})^3\equiv 1 (mod \ 13)$

即
$\large \displaystyle \therefore 9^{36}\equiv 1 (mod \ 13)$

也就是$\large \displaystyle 13 | 9^{36} -1 $

--- 

再来看一下$\large \displaystyle 9^{39}-1$:

$\large \displaystyle 9^{39}\equiv 9^{36} \times 9^3 (mod \ 13) $

$\large \displaystyle \because  9^{36} \equiv 1 (mod \ 13) $ 

$\large \displaystyle  9^3=729=(13 \times 56 +1)=1 (mod \ 13)$

也就是$\large \displaystyle 13 | 9^{39} -1 $

<font color='red'><b>总结：</b></font>
望文知义，看着像就往定理上套，这个思路很明显啊，王道！