## [$P1341$ 无序字母对](https://www.luogu.com.cn/problem/P1341)

###  一、题目描述
给定 $n$ 个各不相同的无序字母对（区分大小写，无序即字母对中的两个字母可以位置颠倒）。请构造一个有 ($n+1$) 个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。

**输入格式**
第一行输入一个正整数 $n$。

第二行到第 ($n+1$) 行每行两个字母，表示这两个字母需要相邻。

**输出格式**
输出满足要求的字符串。

如果没有满足要求的字符串，请输出 `No Solution`。

如果有多种方案，请输出字典序最小的方案（即满足前面的字母的 $ASCII$ 编码尽可能小）。

输入输出样例
输入 #1
```cpp {.line-numbers}
4
aZ
tZ
Xt
aX
```

输出 
```cpp {.line-numbers}
XaZtX
```

### 二、解题思路

知识点：

如果图$G$中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径($Euler$ $path$)。

如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路($Euler$ $circuit$)。

简单点就是：从一个点出发，所有边都走了一次。

**解题**：

1.用并查集判断是否是欧拉回路。这时连通块只有一个。一图胜千言:

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230803140000.png)

 2.对于无向图。如果图中的点全部都是偶点，则存在欧拉回路，任意点都可以。如果只有2个奇数点，则存在欧拉路，其中一个奇点是起点，另一个是终点。

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230803140024.png)

 代码：

这里还要注意是$dfs$ 所以要 $n--$开始，而不是$0$开始

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, M = N * N;
int g[N][N]; // 邻接矩阵
int start;   // 起点
int d[N];    // 点的度
char ans[M]; // 拼接欧拉路径
char s[3];   // 输入的字符串数组
int cnt;     // 计数器，可重复利用
int n;       // n个各不相同的无序字母对

// 并查集
int p[130]; // 'a'+26='z' 97+26=123
int find(int x) {
    if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void dfs(int u) {
    for (int i = 64; i <= 125; i++)
        if (g[u][i]) {
            g[u][i]--, g[i][u]--;
            dfs(i);
        }
    ans[++cnt] = u;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P1341.in", "r", stdin);
#endif
    scanf("%d", &n); // n个各不相同的无序字母对

    // 并查集初始化
    for (int i = 64; i <= 125; i++) p[i] = i;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%s", &s); // 读入n个无序字母对

        g[s[0]][s[1]]++, g[s[1]][s[0]]++; // 记录点与点之间的连通关系，无向图记录，此方法可记录重边，当然，本题不需要处理重边
        d[s[0]]++, d[s[1]]++;             // 以字母的ASCII码作为节点编号,记录度

        // 合并并查集,并查集的目的是看它们最终是不是连通的，如果点都不在一个集合中，就不可能出现欧拉路径
        int fx = find(s[0]), fy = find(s[1]);
        p[fx] = fy;
    }

    for (int i = 64; i <= 125; i++) // 枚举'A'~'Z','a'~'z'
        // d[i]表示此字母在上面的输入中出现过
        // p[i]=i 表示检查完的家族数量
        if (p[i] == i && d[i]) cnt++;

    if (cnt != 1) {
        puts("No Solution"); // 判断是否为欧拉
        return 0;
    }

    cnt = 0; // 记录度是奇数的节点个数
    for (int i = 64; i <= 125; i++)
        if (d[i] % 2 == 1) { // 度为奇数，则必须是2个;当然，也可以全是偶数，没有奇数
            cnt++;
            if (start == 0) start = i; // 记录号最小的奇数度节点号，也就是出发点，因为本题要求输出字典序最小
        }

    // ① 奇数度节点个数是0，是可以的，此时比如是一个环
    // ② 奇数度节点个数是2，是可以的，此时一个是起点，另一个是终点
    if (cnt && cnt != 2) { // 如果两个都不是，那肯定就不存在欧拉路径
        puts("No Solution");
        return 0;
    }

    // 又见经典套路，如果每个点的度都是偶数，那么，出发点可以是任意一个度大于零的点,那就找出最小的那个吧
    if (start == 0) {
        start = 64;
        while (!d[start]) start++;
    }
    // 通过dfs找出欧拉路径
    cnt = 0;
    dfs(start);

    // 输出最终的欧拉路径字符串
    for (int i = cnt; i; i--) printf("%c", ans[i]);

    return 0;
}
```