##[$AcWing$ $9$. 分组背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/description/9/)

### 一、题目描述
有 $N$ 组物品和一个容量是 $V$ 的背包。

每组物品有若干个，**同一组内的物品最多只能选一个**。

每件物品的体积是 $v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中 $i$ 是组号，$j$ 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

**输入格式**
第一行有两个整数 $N，V$，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 $N$ 组数据：

每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 $i$ 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_{ij},w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 个物品组的第 $j$ 个物品的体积和价值；

**输出格式**
输出一个整数，表示最大价值。

**数据范围**
$0<N,V≤100$

$0<S_i≤100$

$0<v_{ij},w_{ij}≤100$

**输入样例**
```cpp {.line-numbers}
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
8
```

### 二、解题思路

直接上 **分组背包** 的 **闫氏$DP$分析法**

<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/21/55909_0a17f1d9d2-IMG_40E676992253-1.jpeg'></center>

初始状态 ：$f[0][0]$

目标状态 ：$f[N][M]$
#### 状态表示
$f[i][j]$ 从前 $i$ 组物品中选择且总体积不大于 $j$ 的最大价值

#### 状态转移
  针对第 $i$ 组物品，将整个状态划分成 $s[i]+1$ 类：
  * ① 第$i$组物品一个都不要：$f[i][j] = f[i-1][j]$
  * ② 选第 $i$ 组物品的第一个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v_1]+w_1$
  * ③ 选第 $i$ 组物品的第二个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v_2]+w_2$
  * ④ 选第 $i$ 组物品的第 $k$ 个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v_k]+w_k$ 
  * ...

  $$\large f[i][j]=max(f[i][j], f[i-1][j-v_k]+w_k)) \  k \in [0, 1, 2,...,s_i]$$

#### 初始化
$f[0][0\sim m] = 0$ 表示在选择 `0` 组物品时对于任何体积来讲，其最大价值均为 `0`


### 三、二维数组版本
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
int n, m;
int f[N][N], v[N][N], w[N][N], s[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s[i]; // 第i个分组中物品个数
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j]; // 第i个分组中物品的体积和价值
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)            // 每组
        for (int j = 0; j <= m; j++) {      // 每个合法体积
            f[i][j] = f[i - 1][j];          // 如果一个都不要，那么这一组就相当于白费，给你机会也不中用，继承于i-1
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++) // 选择第k个
                if (j >= v[i][k])
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]); // 枚举每一个PK一下大小
        }
    // 输出打表结果
    printf("%d", f[n][m]);
    return 0;
}

```

###  四、一维数组版本
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= 0; j--)
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++)
                if (j >= v[i][k])
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```