##[$AcWing$ $10$. 有依赖的背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/description/10/) ### 一、题目描述 有 $N$ 个物品和一个容量是 $V$ 的背包。 物品之间具有依赖关系,且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品,则必须选择它的父节点。 如下图所示: 如果选择物品$5$,则必须选择物品$1$和$2$。这是因为$2$是$5$的父节点,$1$是$2$的父节点。 每件物品的编号是 $i$,体积是 $v_i$,价值是 $w_i$,依赖的父节点编号是 $p_i$。物品的下标范围是 $1…N$。 求解将哪些物品装入背包,可使 **物品总体积不超过背包容量**,且 **总价值最大**。 输出最大价值。 **输入格式** 第一行有两个整数 $N,V$,用空格隔开,分别表示物品个数和背包容量。 接下来有 $N$ 行数据,每行数据表示一个物品。 第 $i$ 行有三个整数 $v_i,w_i,p_i$,用空格隔开,分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。 如果 $p_i=−1$,表示根节点。 **数据保证所有物品构成一棵树**。 **输出格式** 输出一个整数,表示最大价值。 **数据范围** $1≤N,V≤100$ $1≤v_i,w_i≤100$ 父节点编号范围: - 内部结点:$1≤p_i≤N$; - 根节点 $p_i=−1$; **输入样例** ```cpp {.line-numbers} 5 7 2 3 -1 2 2 1 3 5 1 4 7 2 3 6 2 ``` **输出样例:** ```cpp {.line-numbers} 11 ``` ### 二、题目解析 这是一道 **背包$DP$** 的 变种题目 根据题设的 **拓扑结构** 可以观察出每个 **物品** 的关系构成了一棵 **树** 而以往的 **背包$DP$** 每个 **物品** 关系是 **任意的**(但我们一般视为 **线性的**) 所以,这题沿用 **背包$DP$** 的话,要从原来的 **线性$DP$** 改成 **树形$DP$** 即可 然后思考 **树形$DP$** 的 **状态转移** 先比较一下以往 **线性背包$DP$** 的 **状态转移**,第 $i$ 件 物品 只会依赖第 $i−1$ 件 **物品** 的状态 如果本题我们也采用该种 **状态依赖关系** 的话,对于节点 $i$,我们需要枚举他所有子节点的组合 $2^k$ 种可能 再枚举 **体积**,**最坏时间复杂度** 可能会达到 $O(N×2^N×V)$(所有子节点都依赖根节点)最终毫无疑问会 **$TLE$** 因此我们需要换一种思考方式,那就是枚举每个 **状态** **分给各个子节点** 的 **体积** 这样 **时间复杂度** 就是 $O(N×V×V)$ 具体分析如下: ![](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/23/55909_e0fa5c40d4-IMG_E975E06DB9F6-1.jpeg) #### 状态表示 **集合** $f[u][i][j]$ 以$u$为根,在前$i$个子树中选择,最大体积不超过$j$的所有方案 >**解释** >① $i$可以等于$0$,描述只要了$u$节点,没有要$u$的下级任何一个儿子子树。 >② 需要满足条件$j>=v[u]$,原因是如果你连$u$节点都装不下,那就更别提装下$u$及它的若干个儿子树了 **属性** $max$(价值) #### 1、三维 ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; const int N = 110, M = N << 1; int v[N], w[N]; int n, m, root; // f[u][i][j] 以u为根,在前i个子树中(组)选择,最大体积不超过j的所有方案 // 属性:max价值 int f[N][N][N]; // 链式前向星 int e[M], h[N], idx, ne[M]; void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; } // u:以u为根的树 // 返回值:以u为根的树,一级子树son的个数 int dfs(int u) { /* ① 以u为根的树,如果现在剩余体积j>=v[u], 最起码可以把u装下,能获取到w[u]的价值 如果你想研究一下以u为根的子树最多可以获得多大价值,那u节点是必须装下来,否则后续子树根本没机会讨论 */ for (int j = v[u]; j <= m; j++) f[u][0][j] = w[u]; // ② 考虑u的每个子树 int s = 0; for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { // 枚举u的每个子节点 s++; // 前s个子树 int son = e[i]; // 在链式前向星中,这是几号节点 int c = dfs( son); // 对子节点son,把它的f[son][c][k]信息填充完整,返回son子树的一级结点个数 /* 目标:填充f[u][i][j], i: 1~dfs(u)的每个值,dfs(u)返回的是u的下级节点个数,也就是一级子树个数,0上面讨论过了,不用再讨论 j: 枚举每一个u子树的合法空间j k:给定j这么大的空间,那么为son这棵子树留多大空间,k∈ [0,j-v[u]],son子树可以贡献的最大价值依定义就是f[son][c][k] f[u][s - 1][j - k]:在处理s个子树前,前s-1个都已经填充完毕,可以依赖。由于son占了k个空间,那么前序依赖就是f[u][s-1][j-k] */ for (int j = v[u]; j <= m; j++) for (int k = 0; k <= j - v[u]; k++) f[u][s][j] = max(f[u][s][j], f[u][s - 1][j - k] + f[son][c][k]); } return s; // 返回u有多少个子结点 } int main() { // 初始化链式前向星 memset(h, -1, sizeof h); cin >> n >> m; // 物品个数和背包容量 for (int i = 1; i <= n; i++) { // n个物品 int p; cin >> v[i] >> w[i] >> p; // 体积、价值、父亲 if (p == -1) root = i; // 对一棵树而言,根是最重要的 else add(p, i); // 从父亲向儿子建边,一般树都是从上到下建边 } int s = dfs(root); // 从根节点开始遍历,填充DP Table,返回值是root有几个子树 /* Q:为什么需要dfs返回root有多少个子树呢? A:DP问题,一般的答案都在状态转移方程上。比如f[u][i][j]表示以u为根的树中,在前i个儿子中去找,在体积不超过j的情况下,最大的价值是多少。 我们可以看出,最终的答案就是f[root][root的儿子总数][m] 这样看来,计算返回出root的儿子总数就是合情合理了 */ printf("%d\n", f[root][s][m]); return 0; } ``` #### 2、二维 这就是一个类似于$01$背包降维的办法,采用倒序计算,可以防止依赖先更新。 ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; const int N = 110, M = N << 1; int v[N], w[N]; int n, m, root; int f[N][N]; // 链式前向星 int e[M], h[N], idx, ne[M]; void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; } void dfs(int u) { for (int j = w[u]; j <= m; j++) f[u][j] = v[u]; for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { int son = e[i]; dfs(son); for (int j = m; j >= w[u]; j--) for (int k = 0; k <= j - w[u]; k++) f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[son][k]); } } int main() { memset(h, -1, sizeof h); cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i++) { int p; cin >> w[i] >> v[i] >> p; if (p == -1) root = i; else add(p, i); } dfs(root); printf("%d\n", f[root][m]); return 0; } ``` ### 三、练习题 #### [$P2014$ [$CTSC1997$] 选课](https://www.luogu.com.cn/problem/P2014) #### [$P1272$ 重建道路](https://www.luogu.com.cn/problem/P1272) #### [$P1273$ 有线电视网](https://www.luogu.com.cn/problem/P1273) #### [$U53204$ 【数据加强版】选课](https://www.luogu.com.cn/problem/U53204) #### [$P6326$ $Shopping$](https://www.luogu.com.cn/problem/P6326) **[参考博文](https://www.cnblogs.com/Tyouchie/p/11395102.html)**