## 背包问题-方案数-空间至多$j$

### 一、$01$背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品只能**选一个**，求总体积 <font color='red' size=4><b>不超过$m$</b></font>的 <font color='blue' size=4><b>方案数</b></font>。

<font color='black' size=4><b>求方案数，没有价值累加的概念。</b></font>

输入
``` c++
//物品个数　体积
//每个物品的体积
4 5
2 2 3 7
```

输出
```c++
7
```

**理解一下**
```c++
一个都不选
a[0]
a[1]
a[2]
a[0]+a[1]
a[0]+a[2]
a[1]+a[2]
```

#### 1、二维
```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];//第一维：前i个物品，第二维：体积j及以下

int main() {
    scanf("%d %d",&n,&m);
    //初始化,在前0个物品中选，所有合法空间，都有一种结果，就是啥也不要，啥也不要也满足“不超过j”这个条件，方案数=1。
    for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v;
        scanf("%d",&v);
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];//不被i件物品
            if (j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];//能装下就要加上可以转移过来状态的方案数
        }
    }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}
```

#### 2、一维
```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i <= m; i++) f[i] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v;
        scanf("%d",&v);
        for (int j = m; j >= v; j--) f[j] += f[j - v];
    }
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}
```
### 二、完全背包

例子：给你一堆物品，每个物品有一定的体积，每个物品可以选**无数多个**，<font color='red' size=4><b>求总体积不超过$m$</b></font>的 <font color='blue' size=4><b>方案数</b></font>

输入
```c++
3 5
2 3 7
```
输出
```c++
5
```
理解一下：
```c++
一个都不选
a[0]
a[0]*2
a[1]
a[0]+a[1]
```
共$5$种方案。

#### 1、二维
```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    //文件输入
    freopen("ZhiDuo_WQ.in", "r", stdin);

    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = 1; //前0种物品中选择，最多不超过m的体积下，选择的方案只有一种合法，就是啥也不选
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v;
        scanf("%d", &v);
        /*写法1*/
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            if (j >= v)
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - v];
            //注意这里与01背包的差别！！！
            //　在01背包的状态转移中，i就是i,它之前不能出现过i,只能从i-1转移
            //　在完全背包的状态转移中，i出现过没关系，只要能装下，出现几个都行，可以从i转移
            // 01背包：
            // f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - v];
            else
                f[i][j] = f[i - 1][j];
        }

        /*写法2*/
        // for (int j = 0; j <= m; j++) {
        //     f[i][j] = f[i - 1][j];
        //     if (j >= v) f[i][j] += f[i][j - v];
        // }
    }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}
```

#### 2、一维
```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i <= m; i++) f[i] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v;
        scanf("%d",&v);
        //完全背包
        for (int j = v; j <= m; j++) f[j] += f[j - v];
        //对比01背包
        //for (int j = m; j >= v; j--) f[j] += f[j - v];
    }
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}
```
练习题
[洛谷 P1832](https://www.luogu.com.cn/problem/P1832)

欧筛下标从1开始
```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;

LL f[N][N];

//欧拉筛,下标从1开始
//这个欧拉筛黄海修改过，修改下标从1开始
int primes[N], st[N], cnt;
void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[++cnt] = i;
        for (int j = 1; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    get_primes(m); // 1 ~ m以内有cnt个素数

    int n = cnt;
    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; //初始化，如果刚好只可以选一个数，即j == primes[i]，那么只有一种方案。

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            /*
            // j足够大，那么对于一个素数可以选，或是不选。两种方案要求总和。
            if (j >= primes[i])
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - primes[i]];
            else
                f[i][j] = f[i - 1][j]; // j不够大，只有不选这一种方案。
            */

            //与上面的代码是等价的，一样可以AC
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= primes[i]) f[i][j] += f[i][j - primes[i]];
        }
    }
    printf("%lld\n", f[n][m]);
    return 0;
}

```

欧筛下标从0开始
```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;

LL f[N][N];

//欧拉筛
int primes[N], st[N], cnt;
void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d", &m);
    get_primes(m); // 1 ~ m以内有cnt个素数

    int n = cnt;
    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; //初始化，如果刚好只可以选一个数，即j == primes[i]，那么只有一种方案。

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            /*
            // j足够大，那么对于一个素数可以选，或是不选。两种方案要求总和。
            if (j >= primes[i])
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - primes[i]];
            else
                f[i][j] = f[i - 1][j]; // j不够大，只有不选这一种方案。
            */

            //与上面的代码是等价的，一样可以AC
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= primes[i - 1]) f[i][j] += f[i][j - primes[i - 1]];
        }
    }
    printf("%lld\n", f[n][m]);
    return 0;
}

```