##[$P3808$ 【模板】$AC$ 自动机（简单版）](https://www.luogu.com.cn/problem/P3808)

## AC自动机详细讲解
$AC$自动机真是个好东西！之前学$KMP$被$Next$指针搞晕了，所以咕了许久都不敢开$AC$自动机，近期学完之后，发现$AC$自动机并不是很难，特别是对于$KMP$​，个人感觉$AC$自动机比$KMP$要好理解一些，可能是因为我对树上的东西比较敏感（实际是因为我到现在都不会$KMP$）。

很多人都说$AC$自动机是在$Trie$树上作$KMP$，我不否认这一种观点，因为这确实是这样，不过对于刚开始学$AC$自动机的同学们就一些误导性的理解（至少对我是这样的）。$KMP$是建立在一个字符串上的，现在把$KMP$搬到了树上，不是很麻烦吗？实际上$AC$自动机只是有$KMP$的一种思想，实际上跟一个字符串的$KMP$有着很大的不同。

所以看这篇$blog$，请放下$KMP$，理解好$Trie$，再来学习。

### 前置技能
* $Trie$(很重要哦)
* $KMP$的思想（懂思想就可以了，不需要很熟练）

### 问题描述
给定$n$个模式串和$1$个文本串，**求有多少个模式串在文本串里出现过**。

<font color='red'><b>注意:是出现过,就是出现多次只算一次</b></font>。

默认这里每一个人都已经会了$Trie$。

我们将$n$个模式串建成一颗$Trie$树，建树的方式和建$Trie$完全一样。
<center><img src='https://i.loli.net/2019/05/02/5ccaaa22cbf29.png'></center>

假如我们现在有文本串$ABCDBC$。

我们用文本串在$Trie$上匹配，刚开始会经过$2、3、4$号点，发现到$4$，成功地匹配了一个模式串，然后就不能再继续匹配了，这时我们还要重新继续从根开始匹配吗？

不，这样的效率太慢了。这时我们就要借用$KMP$的思想，从$Trie$上的某个点继续开始匹配。

明显在这颗$Trie$上，我们可以继续从$7$号点开始匹配，然后匹配到$8$。

那么我们怎么确定从那个点开始匹配呢？我们称$i$匹配失败后继续从$j$开始匹配，$j$是$i$的$Fail$（**失配指针**）。

### 构建$Fail$指针
**$Fail$的含义**

$Fail$指针的实质含义是什么呢？

如果一个点$i$的$Fail$指针指向$j$。那么$root$到$j$的字符串是$root$到$i$的字符串的一个后缀。

举个例子：（例子来自上面的图)

> $i:4$     $j:7$
> $root$到$i$的字符串是$ABC$
> $root$到$j$的字符串是$BC$
> $BC$是$ABC$的一个后缀
> 所以$i$的$Fail$指针指向$j$

同时我们发现，<font color='red'><b>$C$</b></font> 也是$ABC$的一个后缀。

所以$Fail$指针指的$j$的**深度要尽量大**。

重申一下$Fail$指针的含义：((最长的(当前字符串的后缀))在$Trie$上可以查找到)的末尾编号。

感觉读起来挺绕口的蛤。感性理解一下就好了，没什么卵用的。知道$Fail$有什么用就行了。

### 求$Fail$
首先我们可以确定，每一个点$i$的$Fail$指针指向的点的深度一定是比$i$小的。（$Fail$指的是后缀啊）

第一层的$Fail$一定指的是$root$。（比深度$1$还浅的只有$root$了）

设点$i$的父亲$fa$的$Fail$指针指的是$fafail$，那么如果$fafail$有和$i$值相同的儿子$j$，那么$i$的$Fail$就指向$j$。这里可能比较难理解一点，建议画图理解，不过等会转换成代码就很好理解了。

由于我们在处理$i$的情况必须要先处理好$fa$的情况，所以求$Fail$我们使用$BFS$来实现。

### 实现的一些细节

* 1、刚开始我们不是要初始化第一层的$fail$指针为$root$，其实我们可以建一个虚节点$0$号节点，将$0$的所有儿子指向$root$（$root$编号为$1$，记得初始化)，然后$root$的$fail$指向$0$就$OK$了。效果是一样的。

* 2、如果不存在一个节点$i$，那么我们可以将那个节点设为$fafail$的((值和$i$相同)的儿子)。保证存在性，就算是$0$也可以成功返回到根，因为$0$的所有儿子都是根。

* 3、无论$fafail$存不存在和$i$值相同的儿子$j$，我们都可以将$i$的$fail$指向$j$。因为在处理$i$的时候$j$已经处理好了，如果出现这种情况，$j$的值是第$2$种情况，也是有实际值的，所以没有问题。

* 4、实现时不记父亲，我们直接让父亲更新儿子

```c++
void bfs() {
    int hh = 0, tt = -1; //将队列的头和尾变量写在这里，可以有效防止多组测试数据的初始化问题
    for (int i = 0; i < 26; i++)
        if (tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];

    while (hh <= tt) {
        int p = q[hh++];
        for (int i = 0; i < 26; i++) {
            int t = tr[p][i]; // p状态，通过i这条边，到达的新状态t; 也可以理解为是前缀

            if (!t)
                tr[p][i] = tr[ne[p]][i]; //节点 指向父节点失配指针的i这条边
            else {
                ne[t] = tr[ne[p]][i]; //失配指针指向父节点失配指针的i这条边
                q[++tt] = t;          //存在的要入队列
            }
        }
    }
}
```

### 查询
求出了$Fail$指针，查询就变得十分简单了。

为了避免重复计算，我们每经过一个点就打个标记为$-1$，下一次经过就不重复计算了。

同时，如果一个字符串匹配成功，那么他的$Fail$也肯定可以匹配成功（后缀嘛），于是我们就把$Fail$再统计答案，同样，$Fail$的$Fail$也可以匹配成功，以此类推……经过的点累加$flag$，标记为$-1$。

最后主要还是和$Trie$的查询是一样的。
```c++
int res = 0;
for (int i = 0, j = 0; s[i]; i++) {
    j = tr[j][s[i] - 'a']; //从j点出发，经t这条边,重复利用变量j，不断的移动游标j
    //沿着失配指针不断向上，累加匹配值
    for (int p = j; p && ~cnt[p]; p = ne[p]) res += cnt[p], cnt[p] = -1;
}
```

### 实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1000010;

int n;     // n个模式串
char s[N]; //模式串
char T[N]; //文本串

// Trie树
int tr[N][26], idx;
int cnt[N];
void insert(char *s, int x) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; s[i]; i++) {
        int t = s[i] - 'a';
        if (!tr[p][t]) tr[p][t] = ++idx;
        p = tr[p][t];
    }
    cnt[p]++; //以p为结束节点的字符串个数+1,如果有重复的，这里++也是OK的~
}

// AC自动机
int q[N], ne[N];
void bfs() {
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 0; i < 26; i++)
        if (tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];

    while (hh <= tt) {
        int p = q[hh++];
        for (int i = 0; i < 26; i++) {
            int t = tr[p][i]; //此处直接优化为Trie图，没有采用原始的while向上递归处理的办法，记忆这个版本即可
            if (!t)
                tr[p][i] = tr[ne[p]][i];
            else {
                ne[t] = tr[ne[p]][i];
                q[++tt] = t;
            }
        }
    }
}

//查询字符串s中 n个模式串出现了几个
int query(char *s) {
    int p = 0;
    int res = 0;
    for (int i = 0; s[i]; i++) {
        p = tr[p][s[i] - 'a'];
        for (int j = p; j; j = ne[j]) {
            if (cnt[j] == -1) break;
            res += cnt[j];
            cnt[j] = -1;
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    //加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n;
    //构建Trie树
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s;
        insert(s, i);
    }
    //构建AC自动机
    bfs();
    //输入文本串
    cin >> T;
    //输出模式串出现的个数（注意：不是次数，是个数）
    printf("%d\n", query(T));
    return 0;
}
```