## [$AcWing$ $178$ 第$K$短路](https://www.acwing.com/problem/content/180/)

**[$A$星算法详解(个人认为最详细,最通俗易懂的一个版本)](https://blog.csdn.net/hitwhylz/article/details/23089415)**

### 一、题目描述
给定一张 $N$ 个点（编号 $1,2…N$），$M$ 条边的 **有向图**，求从起点 $S$ 到终点 $T$ 的第 $K$ **短路** 的长度，**路径允许重复经过点或边**。

**注意**： 每条最短路中至少要包含一条边。

**输入格式**
第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。

接下来 $M$ 行，每行包含三个整数 $A,B$ 和 $L$，表示点 $A$ 与点 $B$ 之间存在有向边，且边长为 $L$。

最后一行包含三个整数 $S,T$ 和 $K$，分别表示起点 $S$，终点 $T$ 和第 $K$ 短路。

**输出格式**
输出占一行，包含一个整数，表示第 $K$ 短路的长度，如果第 $K$ 短路不存在，则输出 $−1$。

**数据范围**
$1≤S,T≤N≤1000,0≤M≤10^4,1≤K≤1000,1≤L≤100$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
2 2
1 2 5
2 1 4
1 2 2
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
14
```

### 二、暴力+$Dijkstra$

在$Dijkstra$堆优化算法中，如果我们每次找到 **距离最短的一个点** 去 **更新其它点** ，当 **目标点** 出队第$K$次的时候，当前的距离 就是 从起点到目标点的 **第$K$短路**


#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 1e4 + 10;

// 本题由于是有向图，并且，允许走回头路（比如有一个环存在，就可以重复走，直到第K次到达即可，这与传统的最短路不同）,所以，没有st数组存在判重

int n, m;   // n个顶点,m条边
int S, T;   // 起点与终点
int K;      // 第K短的路线
int cnt[N]; // 记录某个点出队列的次数

int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx; // 邻接表
int dist[N];                      // 到每个点的最短距离
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

struct N1 {
    int u, d;
    const bool operator<(const N1 &b) const {
        return d > b.d; // 谁的距离短谁靠前
    }
};

// 小顶堆
priority_queue<N1> q;
// 堆优化版本Dijkstra
void dijkstra() {
    // 起点入队列
    q.push({S, 0});

    while (q.size()) {     // bfs搜索
        int d = q.top().d; // 当前点和出发点的距离
        int u = q.top().u; // 当前点u
        q.pop();
        cnt[u]++; // 记录u节点出队列次数

        if (u == T) {            // 如果到达了目标点
            if (cnt[u] == K) {   // 第K次到达
                printf("%d", d); // 输出距离长度
                return;
            }
        }
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            /*
            对比标准版本 Dijkstra
            if (!st[u]) {
            st[u] = 1;
                for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
                    int v = e[i];
                    if (d[v] > dist + w[i]) {
                        d[v] = dist + w[i];
                        q.push({d[v], v});
                    }
                }
            }
            ① 取消了st[u]:因为一个点可以入队列多次
            ② 不是最短的才可以入队列，是谁都可以
            */
            if (cnt[v] < K)
                q.push({v, d + w[i]}); // 不管长的短的，全部怼进小顶堆，不是最短路径才是正解，是所有路径都有可能成为正解！所以，这里与传统的Dijkstra明显不一样！
        }
    }
    puts("-1");
}

// 通过了 6/7个数据
// 有一个点TLE，看来暴力+Dijkstra不是正解

int main() {
    // 初始化邻接表
    memset(h, -1, sizeof h);

    // 寻找第K短路，n个顶点，m条边
    cin >> n >> m;

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c; // a->b有一条长度为c的有向边
        add(a, b, c);
    }

    cin >> S >> T >> K; // 开始点，结束点，第K短

    if (S == T) K++; // 如果S=T，那么一次检查到相遇就不能算数，也就是要找第K+1短路

    // 迪杰斯特拉
    dijkstra();

    return 0;
}
```

### 三、$Dijkstra$+$A*$寻路

设置这么一个 **估价函数**

> $F = G  +  H$ 
> $G$ ：该点到 **起点** 的距离
> $H$ ：该点到 **终点** 的距离

每一次进行更新距离时，同时更新 **估价函数$F$** ，使用 **优先队列(堆)** 维护。

####  $Q$:估计函数作用是什么？为什么估价函数是取每个点到终点的最短距离?
答：相当于在搜索的过程在做 **贪心** 的选择,这样我们可以 **优先** 走那些可以 **尽快搜到终点** 的路。比如有$1w$条路，让找第$10$短的路，那么，我们就把最短，次短，次短的...优先整完，这样，第$10$短的就快找到了。

原始版本的$Dijkstra$算法中，第一次出队的都是最短的路，并且，加上了$st$标识，这样就很快。到了第$K$短的路，就不敢加$st$限制，因为人家可以走多次。那每次都是取最短的行不行呢？其实是不行的。以上面的　[链接](https://blog.csdn.net/hitwhylz/article/details/23089415)　为例，明知道目标在墙的后面，但我们还是在南辕北辙的向左侧去扩展，虽然现在看起来　已完成距离短，但不是真的短，本质上应该是　**离出发点距离**　+　**到目标点的最短距离**　**最短**，才是真的最短。　

这题的估价函数就是第k短路 >= 最短路。真妙。
先建立反向图，跑一次dijkstra把每个点到终点的最短路求到。

然后AStar跑一边，这题真是对比dijkstra和AStar的异同点。
一个重要优化是如果一个点出队K次了，他就没有必要在入队了。


$Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int N = 1010;
const int M = 200010;
int n, m;
int S, T, K;
int h[N], rh[N];
int e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
bool st[N];
int cnt[N];

void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 只有点号和距离时，按距离由小到大排序
struct N1 {
    int u, d;
    const bool operator<(const N1 &b) const {
        return b.d < d; // 谁的距离短谁靠前
    }
};

// 当有点号+距离+估值函数时，按估值函数值由小到大排序
struct N2 {
    int u, d, f;
    const bool operator<(const N2 &b) const {
        return b.f < f;
    }
};

// 经典的Dijkstra,计算终点到图中其它所有点的最短路径
void dijkstra() {
    priority_queue<N1> q;
    q.push({T, 0});

    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[T] = 0;

    while (q.size()) {
        N1 t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.u;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;
        for (int i = rh[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] > dist[u] + w[i]) {
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                q.push({v, dist[v]});
            }
        }
    }
}

int astar() {
    priority_queue<N2> q;
    q.push({S, 0, dist[S]}); // 起点入队列

    while (q.size()) {
        int u = q.top().u;
        int d = q.top().d;
        q.pop();
        cnt[u]++;                            // u出队一次
        if (u == T && cnt[u] == K) return d; // 找到到终点的第K短路

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] < INF)                             // 如果是无效借力点，跳过
                q.push({v, d + w[i], d + w[i] + dist[v]}); // 点，距离，估值函数值
        }
    }
    return -1;
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);   // 正向图
    memset(rh, -1, sizeof rh); // 反向图

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(h, a, b, c);  // 正向建图，常规逻辑
        add(rh, b, a, c); // 反向建图，用于获取终点t到图中所有点的最短路径。为估值函数作准备
    }

    cin >> S >> T >> K;

    // ① 如果起点与终点最开始是一样的，那么就需要入队列k+1次,这是一个坑
    if (S == T) K++;

    // ② 先跑一遍Dijkstra,方便计算出估值函数
    dijkstra();

    // ③ 利用Dijkstra计算出来的终点到任意点的值，再加上当前走过的距离，等于AStar的估值函数
    cout << astar() << endl; // A*算法
    return 0;
}
```

#### $Q:$为什么要加一句：`if (dist[v] < INF) `，不加不行吗？
答：

此处代码有两种写法：
1. 网上大神写法：
```cpp {.line-numbers}
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (cnt[v] < K)
                q.push({v, d + w[i], d + w[i] + dist[v]});
        }
```

2. 我的写法：
```cpp {.line-numbers}
  for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] < INF)                             // 如果是无效借力点，跳过
                q.push({v, d + w[i], d + w[i] + dist[v]}); // 点，距离，估值函数值
        }
```

**原因**：见$AcWing$给出错误时的数据用例：
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230620161252.png)

#### 感悟
①  自我认为我的办法才是正解，因为你想把估值函数入队列，还指望着函数值小的优先，那如果`d + w[i] + dist[v]>=INF`，再往里放就是无效操作，而`dist[v]`是有可能等于`INF`的，因为
$$\large S->v-\ngtr T$$
此时，$v$就是 **一个无效转移点，不用入队列，一次都不用**！
② 通过错误的 **数据用例** 来反思、推导，加深理解非常重要,此处给$AcWing$满分，比某谷要强的多！与学会自我创造测试用例一样有用，在以后的学习中一次要重视起来。