##[$AcWing$ $125$. 耍杂技的牛](https://www.acwing.com/problem/content/description/127/) ### 一、题目描述 农民约翰的 $N$ 头奶牛(编号为 $1..N$)计划逃跑并加入马戏团,为此它们决定练习表演杂技。 奶牛们不是非常有创意,只提出了一个杂技表演: 叠罗汉,表演时,奶牛们站在彼此的身上,形成一个高高的垂直堆叠。 奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。 这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。 一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量(不包括它自己)减去它的身体强壮程度的值,现在称该数值为 **风险值**,风险值越大,这只牛撑不住的可能性越高。 您的任务是 **确定奶牛的排序**,使得所有奶牛的风险值中的 **最大值尽可能的小**。 **输入格式** 第一行输入整数 $N$,表示奶牛数量。 接下来 $N$ 行,每行输入两个整数,表示牛的重量和强壮程度,第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$。 **输出格式** 输出一个整数,表示最大风险值的最小可能值。 **数据范围** $1≤N≤50000$, $1≤W_i≤10,000$, $1≤S_i≤1,000,000,000$ **输入样例**: ```cpp {.line-numbers} 3 10 3 2 5 3 3 ``` **输出样例**: ```cpp {.line-numbers} 2 ``` ### 二、算法思路 假设所有牛的顺序已排好,我们把第$i$头牛和第$i+1$头牛的位置互换一下,看看会发生什么情况: | 牛 | 交换前 | 交换后 | | :---: | :---------------------------: | :---------------------------------: | | $i$ | $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_i$$ | $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j+w_{i+1}-s_i$$ | | $i+1$ | $$\sum_{j=1}^{i}w_j-s_{i+1}$$ | $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_{i+1}$$ | **其他牛的危险值显然不变**,所以分析交换前后这两头牛中最大的危险值即可。 将上述式子进行化简,四个式子每个减去 $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j$$ 得到: | 牛 | 交换前 | 交换后 | | :---: | :-------------: | :-----------: | | $i$ | $-s_i$ | $w_{i+1}-s_i$ | | $i+1$ | $w_{i}-s_{i+1}$ | $-s_{i+1}$ | $\because$ $s,w$都是正数 $\therefore$ $w_i-s_{i+1}>-s_{i+1},w_{i+1}-s_i>-s_i$ 所以,交换前后的最大值,就是在比较 $w_i-s_{i+1},w_{i+1}-s_i$: - 当$w_i-s_{i+1}>=w_{i+1}-s_i$,即$w_i+s_i>=w_{i+1}+s_{i+1}$时,交换后更优 - 当$w_i-s_{i+1} using namespace std; typedef pair PII; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int N = 50010; PII cow[N]; int n; int main() { cin >> n; //奶牛的数量 for (int i = 0; i < n; i++) { int s, w; //牛的重量和强壮程度 cin >> w >> s; cow[i] = {w + s, w}; //之所以这样记录数据,是因为我们找到贪心的公式,按 wi+si排序 } //排序 sort(cow, cow + n); //最大风险值 int res = -INF, sum = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second; res = max(res, sum - s); //res为最大风险值 sum += w; //sum=w1+w2+w3+...+wi } printf("%d\n", res); return 0; } ```