![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/f20cc4e72ce1658bbb6abd961ba124d6.jpg) **结论**: $tan \alpha=\frac{1}{2},tan \beta=\frac{1}{3},\alpha+\beta=45^{\circ}$ 利用结论: ![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/075c27430cd8d1931068d43ef1c2b5fa.jpg) 设$\angle BAE=\angle \alpha,\angle FAD=\angle \beta$ $\because BE=2,AB=4$ $\large \therefore \frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=tan \alpha$ 双$\because \alpha+ \beta=45^{\circ}$ 根据结论:$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{3} $ $\therefore DF=2$ **证明**: 绘制右侧的图形,$\angle \alpha +\beta=45^{\circ}$ 取角分线上任意一点$P$,向$AB,AC$引垂线,构造直角三角形,同时,延长$NP$交$AB$与$M$。 这样就有了好多个直角三角形,计算起来就容易了: $\because tan\alpha=\frac{1}{2}$ 设$EP=x$,则$AE=2x$ $\because \angle ANM$是引垂线引出的直角三角形,$\angle NAB=45^{\circ}$ $\therefore \angle AMN=45^{\circ}$ $\therefore EM=EP=x$ $PM=\sqrt{2}x,AM=3x$ 再利用等腰直角三角形的边长关系,得到 $AN=MN$ $\because 2 AN^2=(3x)^2$ $AN=\sqrt{\frac{(3x)^2*2}{2*2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$ $\therefore PN=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\sqrt{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x$ $\therefore tan \beta=\frac{PN}{AN}=\frac{1}{3}$ **证毕**