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**结论**：
$tan \alpha=\frac{1}{2},tan \beta=\frac{1}{3},\alpha+\beta=45^{\circ}$

利用结论：

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/075c27430cd8d1931068d43ef1c2b5fa.jpg)

设$\angle BAE=\angle \alpha,\angle FAD=\angle \beta$

$\because BE=2,AB=4$
$\large \therefore \frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=tan \alpha$

双$\because \alpha+ \beta=45^{\circ}$
根据结论：$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{3}  $
$\therefore DF=2$


**证明**：
绘制右侧的图形，$\angle \alpha +\beta=45^{\circ}$

取角分线上任意一点$P$,向$AB,AC$引垂线，构造直角三角形，同时，延长$NP$交$AB$与$M$。

这样就有了好多个直角三角形，计算起来就容易了：

$\because tan\alpha=\frac{1}{2}$
设$EP=x$,则$AE=2x$

$\because \angle ANM$是引垂线引出的直角三角形，$\angle NAB=45^{\circ}$

$\therefore \angle AMN=45^{\circ}$
$\therefore EM=EP=x$
$PM=\sqrt{2}x,AM=3x$

再利用等腰直角三角形的边长关系，得到

$AN=MN$

$\because  2 AN^2=(3x)^2$
$AN=\sqrt{\frac{(3x)^2*2}{2*2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$

$\therefore PN=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\sqrt{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x$

$\therefore tan \beta=\frac{PN}{AN}=\frac{1}{3}$

**证毕**