### 一、前导知识

#### 1、三角形全等判定定理

1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称$SSS$或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等($SAS$或 “边角边”)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等($ASA$或 “角边角”)。

4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等($AAS$或 “角角边”)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等($HL$或“斜边,直角边”)。
$SSS,SAS,ASA,AAS,HL$均为判定三角形全等的定理。

**注意**：在全等的判定中,没有$AAA$(角角角)和$SSA$(边边角)(特例：直角三角形为$HL$,属于$SSA$),这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

**$Tips$**

**[$Q$:边边角（$SSA$）就一定不能证明三角形全等吗？](https://zhuanlan.zhihu.com/p/22000159)**


**两个角相加等于 $90^ \circ$ ，叫互余；两个角相加等于 $180^ \circ$，叫互补**

#### 2、垂直平分线

1、**线段的垂直平分线（中垂线）**

（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：**线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等**。

（3）判定：**到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上**。

（4）画法：线段$AB$的垂直平分线，分别以线段$AB$两个端点为圆心，大于$AB$长为半径画弧，两弧交于两点$CD$，则直线$CD$是线段$AB$的垂直平分线。

2、**轴对称**

（1）轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形完全重合，就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点

（3）性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形

②如果两个图形关于某条子线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线；

③两个图形关于某一条直线对称，如果它们的对应线段或者延长线相交，那么交点在对称轴上。注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称。

**[扩展阅读](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1680219166686180592&wfr=spider&for=pc)**

### 二、练习题

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/9896375fe3ee6800416bc25fce75fd82.png)

**思路**：
- 因题目告之$AB=CB$,同时 $\angle ABC=90^ \circ$,所以是一个等腰直角三角形。
- $\angle CBE + \angle DBA= \angle DBA+ \angle DAB$
  $\therefore$ $\angle CBE = \angle DAB$
- 又$\because BC=AB$

根据直角三角形判断相等 $AAS$，
$\therefore$ $\triangle CEB  $ $\cong $ $\triangle ADB $

$\therefore EB=AD=3,DE=DB-EB=CE-DB=5-3=2$  

---
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/13b4f34481a641cca53186e26cbab93e.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/d2a1db2e047d8ce2b45a7391a40b2a79.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/ae215ae816cf0bc6ea1aeb0ad22efada.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/9a3da90160a43fb057b5914493eee575.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/15799d08dbaf12a616dbe63ddd82ea28.png)
解:$\triangle CEB $ $\cong $ $\triangle CDA$ 即可，$SAS$

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/024036a854efa4ecb5693b45b7ae9ad9.png)
解：$\triangle BDA $ $\cong $ $\triangle  ACE$ $\therefore$ $\angle 3= $ $55^ \circ$

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/748643a78e9c03f36468a0fc8a5d9fdb.png)

解：
① $\because$ $\angle ABC= $ $45^ \circ$
$\therefore$ $\triangle ABD $ 为等腰直角三角形， $AB=DB$

$\therefore$ $\triangle DFB $ $\cong $ $\triangle FDB$ ($AAS$)
证毕
②
$\because FB=DC$ $\angle ADC= $ $90^ \circ$
$\triangle FDC $ 为等腰直角三角形
$\therefore$ $\angle FCD= $ $45^ \circ$
证毕

③  $ BF=2EC$,所以$E$为中点，$BE$就是垂直平分线。
$\therefore AF=FC,AB=BC$(**垂直平分线的性质**)

$\therefore AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD$

证毕

---

**湖北鄂州 中考真题 初中数学 2020**

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/d0fc679be2af908692e41364fa50e81a.png)

$\triangle AOC $ $\cong $ $\triangle BOD $

$\therefore$ $AC=BD$  ② $✔$

$\because$ $\angle AMB= \angle DMC $ (对顶角)
$\angle ACO =\angle ODB$ 
$\therefore$ $\angle  COD=CMD $ (两个三角形中，有一个共顶角，另外两个角相等，剩下的两个角也一定相等)

$\therefore$ $\angle AMD= $ $\angle COD= $ $36^ \circ$ ① $✔$


由$O$向$AC$,$BD$引出垂线，垂足为$H,G$，因为 $\triangle AOC $ $\cong $ $\triangle BOD $,所以对应边的垂线长度也一定要等，$\triangle OHM $与  $\triangle OMG $共用一条边$OM$,并且，另一条直线边还相等，所以
$\triangle OHM $ $\cong $ $\triangle  OGM $
$\therefore$ $\angle AMO =\angle DMO $ ④ $✔$

现在还看一下 ③
反证法：假设 $\angle AOM=\angle MOD $ 看看会不会有矛盾产生。

$$
\large \left\{\begin{matrix}
\angle AOM= \angle MOD & \\ 
OM=OM & \\
\angle OMA= \angle OMD & (上面的结论 ④) 
\end{matrix}\right.
$$
根据$ASA$定理，则 $\triangle AOM $ $\cong $ $\triangle OMD $
$\therefore$ $OA=OD=OC$,而题目明确给出$OA<OC$,所以假设错误，③ $✘$

**总结**
- 构造直角三角形,利用三角形全等来判断角是不是相等
- 反证法，同时注意读题中的隐含条件，想一想他为什么要给出这样一个条件


![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/731af3868c2bbda3aa821e36ffdb049d.png)

$SAS$可以证明 (1)

连接$A->M$,根据结论(1),依然有 $\triangle AMO $ $\cong $ $\triangle NOB $

$\because$ $\angle OAB=45 ^ \circ$
$\angle MAO=\angle OBA=45 ^ \circ$
$\therefore \angle MAN=90 ^ \circ$ 

$MN=BN$
$MN^2=AB^2=2ON^2$
证毕

---

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/46e3741f277b16cd8109e9d25a265597.png)


**前导知识**
####[学习平行四边形判定要学好，这五种方法要掌握牢](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1663846175361026113&wfr=spider&for=pc)

**解：**
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/bcf308a2e06939fb038bf6153b21df6c.png)

延长$AD$，截取$DE=AD$ 则$D$为$AE,BC$的中点，平行四边形判定办法，知道$ABCE$为平行四边形。

$AE<AB+BE=AB+AC=7+5=12$,所以$AD<6$
同时，$AE>AC-CE=7=5=2$,所以$AD>1$
选$A$

---
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/9ea22097f5f45af0483faa9d6dbf9ab5.png)

<font color='red' size=4><b>三个都需要仔细思考，并由教师进行点拨</b></font>

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/279d854ee2dfcdaf9f50bc1eadbbc597.png)

答： 
(1) $SAS$
(2) $AB-AC<AE<AB+AC \Rightarrow 2 <AE <10 \Rightarrow  1<AD<5$  

(3) 
- $BF$与$AC$不在一个三角形中，不好直接证明，需要引辅助线。
- 一般中线的题，都是把中线延长一倍，然后再来思考解决办法。

画出下图：
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/9a7365b02e7a36f8754ee5ff42e6f7a0.png)

$\triangle BDH \cong \triangle ADC \ SAS$

如此，成功的把$AC$转化为$BH$,而$BH$与$BF$在同一个三角形中，就是证明$\triangle BFH$是等腰三角形即可，问题得到转化。

$\because \triangle BHD=\triangle ADC 平行四边判定办法,内错角相等$
在，而$\triangle BFH=\triangle AFE$,而$AE=EF$,所以$\triangle AFE=\triangle FAC=\triangle BHA$


结论：$\triangle BHD=\triangle BFH \Rightarrow  BF=BH=AC$

---

**【前导知识】**
**[直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](https://jingyan.baidu.com/article/75ab0bcb067a7f97864db28d.html)**

**[相似三角形](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1725813670281051114&wfr=spider&for=pc)**

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/8fc4e6a81f729a0ab66a71b04f871257.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/e4cece7dbfbab56a4ee4829ebd30f388.png)

- $\triangle BEF \sim \triangle ABD$
- 欲证明$EG=GC$,而$GC=NG$,根据直角三角形的中线定理可知，如果我们能证明$\triangle NEC$为直角三角形即可。

$Q$:如何证明一个三角形是直角三角形呢？
$A$:通过勾股定理肯定可以，这里用不上，只能从角度方向去思考：
通过瞪眼大法得知：

如果真有这个$\triangle NEC=90^\circ$,那么$\angle NEF=\angle BEC$(两个直角+一个共用的角)

我们现在知道：$EF:EB=1:2$,$DC=NF:BC=1:2$
$\therefore EF:EB=NF:BC$

因为$\tan \alpha=1/2$

$90^{\circ}-\angle 1+\angle 2 +(90^{\circ}-\angle 1)=180^{\circ}$
$\therefore \angle 2=2 \times \angle 1$
即两个成比例边的夹角:$\angle EBC=\angle EFN$

$\therefore \triangle BEC \sim \triangle FEN$，都扣去$\angle FEC$,则证明了$\angle CEN=90^ \circ$

**证毕**。

---

**【前导知识】**

**[相似三角形](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1725813670281051114&wfr=spider&for=pc)**


![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/964e9cf87f0dd94c066da1777cacbfc4.png)

$\triangle AEG \sim \triangle BFE$

比例：
$\frac{AE}{BF}=\frac{AG}{BE}$
同时：
$AE=BE$
$\therefore AE^2=AG . BF=2$
$\therefore AE=\sqrt{2}$

$\therefore GF^2=CE^2+EF^2=AG^2+AE^2+BE^2+BF^2=1+2+2+4=9$
$\therefore GF=3$

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/95ebbea857923b20f28d1c867feced02.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/d688aec7887fa8c328eabb10cf5f4646.png)

**答：**
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/68f5fcbe0905761c9484ea015a6ce76a.png)

$\triangle EFC \cong \triangle DAE$
$EF=AE$
$BF=BC-FC=BC-AD=5$
$AF=\sqrt{AB^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13$
$\therefore \large AE=\frac{13}{2}$

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/3ca89de5cf2603bb7efd04ba7c48b08c.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/8f6b8ec113b77912e0756732bee875b8.png)

$\triangle ODE \cong \triangle AOB$

$CO是垂直平分线$,证毕


![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/0083839d7adfb56cb63f2132c737ff20.png)

**辅助线：**
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/4df237a209a619be15937d47c0b88fa0.png)

$\triangle APB \cong \triangle BPE $

$S_{\triangle PEC}=S_{\triangle APC}$ 底边长度一样，高相同。

所以阴影面积是一半的面积。

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/57277b5b8739cb00aa5ee93a6579d628.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/47edc4b88e533d019ddbf7d915f50c04.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/a30de13968754c99e25e1108ebb98619.png)

$CD$平分$\angle ACB$, $BD$ $\perp$ $CD$
$\triangle EBC$是等腰直角三角形
$AE=BE=BD+D1+1=2$
选$A$

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/655676b6ea38efcef08aa1d6ac7c31c1.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/ea7531c61f1326de606ba4b81ed66403.png)

$\triangle AEG \cong  \triangle AEC$
$ED$为$\triangle GCB$中位线  $BF=(AB-AC)/2$

---

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/bd38791a6e58c601e02eafe6f3bfb263.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/39255c7a5780fc7f010dcb9d0a52a6c1.png)

**答：是$1/2$的概率**

---
#### 前导知识

**[中考压轴不再难！半角模型详解！](https://www.bilibili.com/video/av883564693/?vd_source=13b33731bb79a73783e9f2c0e11857ae)**

**[【中考热点】基本模型——半角模型 视频]([222](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1NjYzNjE1NQ==&mid=2247541158&idx=2&sn=9c0e4ecb5b23608efcb11304aeae6400&chksm=ea21c432dd564d2428c3c70ba490b53ca76486ecab875fb05461bc11ea97ad392845b964d6cc&scene=27))**

**[中考数学—— 《半角模型》的“N条结论”](https://www.bilibili.com/video/BV1nG4y1x7Ku/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1&vd_source=13b33731bb79a73783e9f2c0e11857ae)**

**[几何模型之半角模型](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU1MjQ5OTM5MA==&mid=2247502896&idx=5&sn=d490daf2bf21035633d0d1e6ac891c43&chksm=fb83ade1ccf424f7432a7abe3cb085793f599ea3999ef5427d82f385f9707bde2ff8ae2a2d73&scene=27)**

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/07d3b0f47c18e9e7ccb33ccb349a5a34.png)

<font color='red' size=4><b>画图解析：</b></font>

<center><img src='http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/bc629cfd774f909ec1dbdb633d115a94.jpg'></center>

**题解**
因为$\triangle AMN$的周长需要三长边$AM,MN,AN$,而分别计算出来并加在一起从题目中给出的条件看来并不现实，所以需要将一条边转化到另一条边上去，这样就可以拿到两条直边，看看能不能和题目给出的$AB、AC$建立起关系。

通过瞪眼大法得知，$AN=AC-CN$,所以，尝试将$CN$移动到$AB$上去,一旦成功转化，就好办了。

**引辅助线**：在AB延长线上截取$BF=NC$，试图证明$\triangle BDF \cong \triangle DNC$,很显然，通过$ASA$($BD=DC,NC=BF,\angle FBD= \angle DCN$),全等三角形得证。有条件 $DF=DN$ 成立。

现在还拿不到结论，还需要继续瞪眼大法：
$\angle BDM+\angle MDN +  \angle NDC= 120^ \circ$
而其中$\angle MDN=60 ^ \circ$
$\therefore \angle BDM+\angle NDC=60 ^ \circ$
而$\angle NDC=\angle BDF$,所以$\angle MDF=60^\circ$  ①
$MD$是公共边 ②

$DF=DN$ ③ 

$\therefore \triangle MDF \cong \triangle MDN$ $(SAS)$

$\therefore MN=MB+BF$

$C_{\triangle AMN}=AM+MN+AN=AM+MB+BF+AN=AB+BF+AN=AB+AN+NC=AB+AC=2a$

---

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/d0d9a76aec8ee282a27ce7108f3b6e5e.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/9994ae237ff7fe87b46e12dac7a58dee.jpg)

<font color='red' size=4><b>第二问也是成立的，因为两角相加等于180，也就是互补，一样可以证明两个三角形全等。</b></font>

<font color='blue' size=4><b>下面解决第三问：</b></font>
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/8718cb72eea1ffc08f821320ccc9c97a.jpg)
$\triangle BAG \cong \triangle DAF$ $\Rightarrow$  $\angle BAG=\angle DAF,AG=AF$

$\angle BAG + \angle EAD= \angle DAF + \angle EAD=\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD$

将$\angle DAF$移动到$\angle BAG$后，这块多出来的小角就存在于原始角$\angle BAD$中了，扣除它后，再扣除$\angle EAD$,则剩下的$\angle GAE$就是$\frac{1}{2}\angle BAD=\angle EAF$
$\therefore \triangle AGE \cong \triangle EAF$
$\therefore EG=EF$
$\because EG=BE-BG$
$\therefore EF=BE-FD$ 所以，题目中说到的结论是错误的。

---

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/728fb4e165aa4886d63e32bd607c5d40.png)

<font color='red' size=4><b>本题是例题，不再讲解</b></font>

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/1ec83f921fb6054c98205085d1188df4.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/d0f28f84e7c250052d452523be8e55c9.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/fec8449f9cf0626b40238c138aad8b59.png)

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/f7e75fde062e32eef5763ad74000ee52.png)

<font color='red' size=4><b>思路</b></font>
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/980a0367768db041fdef41f58738ed5f.png)

通过两次三角形全等，可知$\angle GAE=\angle EAF,FN=GH$ $\Rightarrow \triangle DFN \cong \triangle BGH$

$BM^2+DN^2=BM^2+BH^2=MH^2=MN^2$
$\because DN=1,BM=2$
$\therefore 2^2+1^2=MN^2$
$\therefore MN=\sqrt{5}$

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/bef260395f6fdde9776261ad0a90d4e7.png)

#### 1、证明 $AN=EN$
$\because \angle AMN=\angle BME,\angle EAN=45^ \circ =\angle ABM$
$\therefore \triangle AMN \sim \triangle BME$
$\large \therefore \frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME}$
同时，$\angle AMB=\angle BMN$
$\therefore \triangle AMB \sim \triangle NME$
$\therefore \angle AEN=\angle BAE=45 ^ \circ$
同时因为$\angle EAN=45 ^ \circ$
$\therefore \angle ENA=90^\circ$
也就是$\triangle ANE$为等腰直角三角形 ，所以 $AN=NE$, ① $✔$

#### 2、证明 当$AE=AF$时，$\frac{BE}{EC}=2-\sqrt{2}$
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/7c38afc898e1c6d0d599bc5f71c0afd1.png)

设正方形边长为$1$,设$CE=x$,$\Rightarrow OC=\frac{\sqrt{2}}{2}x$

$\triangle AOE \cong \triangle ABE  $ $\Rightarrow $ $AO=AB=1$ $\Rightarrow $ $CO=\sqrt{2}-1$

$\therefore 1+ \frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{2}$ $\Rightarrow$  $ x= 2-  \sqrt{2}$

$\large \frac{BE}{EC}=\frac{1-(2-\sqrt{2})}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故 ② $✘$

#### 3、证明$BE+DF=EF$
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/b070b3a9428bbf7db2251a52ba3b8647.png)

半角模型常见办法，就不再赘述了。 ③ $✔$

#### 4、证明 存在点$E,F$,使得$NF>DF$
这是一个大边对大角，小边对小角的知识点考查，$\angle NDF=45 ^ \circ$,$\angle FND=\angle NDA + \angle NAD=45^ \circ+\angle NAD$
$\therefore \angle DNF> \angle NDF$,$\Rightarrow $ $DF>NF$  ④ $✘$

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证明$\triangle BPK \cong  \triangle BPD$ ①
$\angle PKA=\angle PDC =90 ^ \circ$ ②
$KP=PD$ ③
$\therefore \triangle APK \cong  \triangle PDC$ 
所以第一问、第二问、第三问(稍一修改即可)都正确。

第四问：将$\triangle PDC$ 旋转到$\triangle PKA$,$S_{PCBA}=S_{\triangle BKP}+S_ { \triangle BPD}$ ，所以也正确。


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