![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/7aff5bdd086ff0f456c3a45ef4640323.jpg)

($11$) 四点共圆的条件是：**圆内接四边形的对角互补**
$\because \angle ABE=\angle AHE=90^{\circ}$
$\therefore ABEH$四点共圆

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/e8ce208953bc48b15d6af0a460b16c2f.png)
($12$) 同理：$\because \angle AHF= \angle ADF=90^{\circ}$

$\therefore AHFD$四点共圆

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/fd009b2cc17a83cde2f77840e94d98ed.png)
($13$) 很明显$QD$与$BS$不在同一个三角形中，不太好直接证明两者间的关系，我们采用的办法是旋转法，将$\triangle AQD$旋转到$AQ'B$的形式上。

因为是旋转，所以$BQ'=QD$,问题得到转化。
下面来研究一下$Q'B^2+BS^2=QS^2$吗？
根据以前的证明经验，我们知道$\triangle Q'SA \cong \triangle ASQ$ ($SAS$)
$\therefore Q'S=QS$
问题也就转化为让我们证明$\angle Q'BS=90^{\circ}$
$\angle Q'BS=\angle ABQ'+\angle ABS=\angle ADQ+\angle ABS=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$
**证毕**

($14$)性质：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等
$\angle DBC=\angle EAF=45^{\circ}$
所以$EBAQ$四点共圆,**证毕**

($15$) 同$14$,有$\angle EAF=\angle BDC=45^{\circ}$
所以$ADFS$四点共圆

($16$) 利用上面$ABEQ$四点共圆的结论，所以弧$AQ$的两个对应角$\angle ABD=\angle AEQ=45^{\circ}$
而且已知$\angle EAF=45^{\circ}$
$\therefore \angle AQE=90^{\circ}$
$\therefore \triangle AEQ$是等腰直角三角形
**证毕**

($17$) 根据上面的结论$ASFD$四点共圆,弧$AS$对的两个角$\angle ADS=\angle AFS=45^{\circ}$
$\therefore \triangle ASF$是等腰直角三角形
**证毕**

($18$,$19$)因为有上面$16,17$的结论，所以$\sqrt{2}$倍的结论也是正确的

($20$) 
**[视频证明](https://www.ixigua.com/6830219667248775687)**

**今日头条:武老师课堂**