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(1)
将三个点代入方程，求解方程组
$$
\large \left\{\begin{matrix}
0=a(-1)^2-b+c & \\ 
0=9a+3b+c & \\
c=-3 
\end{matrix}\right.
$$

整理:
$$
\large \left\{\begin{matrix}
a-b-3=0 & \\ 
3a+b-1=0 & \\
c=-3 
\end{matrix}\right.
$$


$$ \Rightarrow  
\large \left\{\begin{matrix}
 a=1& \\ 
 b=-2& \\
 c=-3 
\end{matrix}\right.
$$
即$y=x^2-2x-3$

顶点$D$的坐标,根据顶点坐标公式：

$$
\large \left\{\begin{matrix}
x=-\frac{b}{2a} & \\ 
y=\frac{4ac-b^2}{4a} & 
\end{matrix}\right.
$$

$$ \Rightarrow  
\large \left\{\begin{matrix}
x=1 & \\ 
y=-4 & 
\end{matrix}\right.
$$

---
**重点是第二问**：

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因为是等腰三角形的情况共三种，需要分情况讨论：
- $AD=AP$ 在以$A$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
- $AD=DP$ 在以$D$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
- $AP=DP$ 在$AD$垂直平分线与对称轴的交点上

有两种方法，几何法和代数法，分别来计算一下：

#### 几何法
- $AD=AP$ 时，$P$点坐标就是$D$关于$X$轴的对称点，$P(1,4)$
- $AD=DP$ 时，利用勾股定理，可以求解$AD$长度，也就是$DP$长度=$\sqrt{(-1-1)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$,$P_2=({-1,2\sqrt{5}-4})$

<font color='red' size=4><b>注意</b></font>
这里非常容易丢失一组解！也可能是以$D$为圆心的圆与对称轴的下方交点! 即$P_3=(-4-2\sqrt{5})$

垂直平分线的交点:
此时$AP=PD$
设 上面一小段为$m$
$(4-m)^2=m^2+2^2 \Rightarrow  $
$16-8m+m^2=m^2+4$ 
$m=\frac{3}{2}$

$P_4(1,-\frac{3}{2})$
#### 代数法

- 表示点
  $A(-1,0),D(1,-4),P(1,t)$
- 表示边
  利用两点间距离公式 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
  分别计算$AD^2,AP^2,DP^2$,就可以免去开根号了

- 列方程求解
  $AD^2=4+16=20$
  $AP^2=4+t^2$
  $DP^2=(t+4)^2$

  三个方程式分别联立成三个方程组：
  
  
  $$
  \large \left\{\begin{matrix}
  4+t^2=20 & ① \\ 
  4+t^2=t^2+8t+16 & ② \\
  (t+4)^2=20  & ③
  \end{matrix}\right.
  $$

  ① $t=4$ (根据题意舍掉$-4$)
  ② $t=-\frac{3}{2}$
  ③ $t=\pm2\sqrt{5}-4$