(1) 将两点代入方程求解方程组即可:
$$ \left\{\begin{matrix}
-4=(-3)^2-3b+c & \\
-1=c &
\end{matrix}\right.
$$
$\therefore b=4,c=-1,$**二次函数方程**:$y=x^2+4x-1$
下面来求一下直线方程:
$y=kx+b$
$$
\large \left\{\begin{matrix}
-4=k(-3)+b & \\
-1=b &
\end{matrix}\right.
$$
解得:$k=1,b=-1$,**直线方程**$y=x-1$
(2)**铅垂法+二次方程求顶点+校验**
由动点$P$向$x$轴引一条平等于$y$轴的直线，交$AB$于$M$,则$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle APM}+S_{\triangle BPM}$
- $P$的坐标是设未知数$x=m$,然后通过二次函数获取到的$y=m^2+4m-1$
- $M$的坐标是通过直线方程求出的，将$x=m$代入直线方程，可得$y=m-1$
$S=\frac{1}{2} PM * (A横坐标 -B横坐标)$
$=\frac{1}{2}(m-1-(m^2+4m-1))*(0-(-3))$
$=-\frac{3}{2}m^2-\frac{9}{2}m$
$\because -\frac{3}{2}<0$，同一个开口向下的抛物线，所以函数有最大值，最大值在顶点，
$X=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{9}{2}}{-3}$
解得$X=-\frac{3}{2}$时，取得最大值，最大值
$=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-\frac{81}{4}}{-6}=\frac{81}{24}=\frac{27}{8}$
(3) **前导知识:抛物线平移**
填空题：
将抛物线$y=-x^2$向右平移一个单位，所得函数解析式为( $y=-(x-1)^2$ )
分析：直接根据 **左加右减** 的原则进行解答即可．
考点: 二次函数图象与几何变换．
所以，右移两个单位，新方程就是$y=(x-2)^2+4(x-2)-1$
$y=x^2-4x+4+4x-8-1$
$y=x^2-5$
由于点$C$是两个抛物线的交点，所以就是联立两个方程：
$$
\large \left\{\begin{matrix}
y=x^2+4x-1 & \\
y=x^2-5 &
\end{matrix}\right.
$$
$\therefore C(-1,-4)$
- 由于$D$是原抛物线对称轴上一点,所以横坐标已知，为$-2$,纵坐标不知道，设为$t$,则$D(-2,t)$
- 设$E$点坐标为$(m,n)$
现在想要知道，是不是存一个菱形$BCDE$
步骤：
- 转化为等腰三角形存在性问题确定第三点
- 根据翻折确定第四点
解释：因为菱形的四条边都相等，当一条边的两个点确定的时候，只要找出的第三点能够构成等腰三角形，这个点就是菱形的第三点。
另外，只要等腰三角形确定，就可以通过翻折找出对应的菱形。
$BC$的等腰三角形存在性问题，就是在两圆一线上！
另外，$D$点要求在原抛物线的对称轴上，所以图中的蓝色点都是可能的答案。
坑：
最下方的圆与原抛物线对称轴交点的蓝色点(西瓜视频字里面那个半蓝色的点)需要舍掉，原因是经过验证，此点与$B,C$三点共线，无法组成三角形，不符合要求，舍掉。
代数法求解坐标：
(1)确定点坐标，不知道的用变量描述
(2)等腰就是两条边的欧几里得距离相等，这里直接取平方计算，方便。
(3)平方两两相等，就可以得到$5$个点的坐标，再通过上面的分析，舍掉最后一个点，得到四个点的坐标
最后一步，开始翻折解决问题：
因为菱形就是一个平行四边形，有相应的规律：
**这条对角线的坐标相加，等于，另一条对角线的坐标相加**
$C(-1,-4),D坐标上面求出了，B(0,-1),E(m,n)$
$X_D+X_C=X_B+X_E$
$-2-1=0+m$
$m=-3$
$Y_D+Y_C=Y_B+Y_E$
$-1+\sqrt{6}-4=-1+n$
$n=-4+\sqrt{6}$
$\therefore M_1(-3,-4+\sqrt{6})$
同理，解得
$M_2(-3,-4-\sqrt{6})$
$M_3(-1,2)$
$M_4(1,-3)$