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#### 题目解析

第一问比较简单，说是用 待定系数法，将已知点坐标代入到二次函数方程和直线方程，然后联立方程组求解即可： 

$$
\large \left\{\begin{matrix}
0=-1-b+c & \\ 
3=-4+2b+c & 
\end{matrix}\right.
$$

$\therefore b=2,c=3$
即抛物线方程$y=-x^2+2x+3$

直线方程$y=kx+b $
$$
\large \left\{\begin{matrix}
0=-k+b & \\ 
3=2k+b & 
\end{matrix}\right.
$$
$\therefore b=1,k=1$
直线方程就是$y=x+1$

**直接求出$D$点坐标**

直接利用 **顶点坐标公式**:
$$
\large \left\{\begin{matrix}
x=-\frac{b}{2a} & \\ 
y=\frac{4ac-b^2}{4a} & 
\end{matrix}\right.
$$
将$a,b$代入即可求出
$x=1,y=4$

**重点是第$2$问**

在抛物线上的动点求面积最大值，使用的办法是 **铅垂法**

就是由动点$P$向$x$轴引出一条平行于$y$轴的垂线，与直线$AC$相交，设交点为$M$

$\therefore S_{\triangle PAC}=S_{\triangle PAM}+S_{\triangle PMC} $
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- $P$的坐标是设未知数$x=m$,然后通过二次函数获取到的$y=-m^2+2m+3$
- $M$的坐标是通过直线方程求出的，将$x=m$代入直线方程，可得$y=m+1$

$S=\frac{1}{2} PM * (C横坐标 -A横坐标)$
$=\frac{1}{2}(-m^2+2m+3-m-1)*(2-(-1))$
$=(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}m+1)*3$
$=-\frac{3}{2}(m^2-m-2)$
$=-\frac{3}{2}(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{8}$ **配方法**
$\therefore m=\frac{1}{2}$时，$S$最大，最大值是$\frac{27}{8}$

最后不要忘记检验，因为题目中说了，动点$P$是在$AC$上方的，所以$M$需要在$-1,2$之间。现在$m=\frac{1}{2}$是在$(-1,2)$之间的，符合要求，答案就是$\frac{27}{8}$