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#### 第一步：先求与直线相交交点的范围
$$
\left\{\begin{matrix}
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} & \\ 
y=ax^2-x+1 & 
\end{matrix}\right.
$$
即$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=ax^2-x+1$
$ax^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$
$\because 有两个交点$
$\therefore \triangle>0$
即$\frac{9}{4}-2a>0$
$\therefore a<\frac{9}{8}$

#### 第二步：与线段$AB$交点范围
- $a>0$
    开口向上，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是大于直线方程上的$0,1$
    即 $$
    \large \left\{\begin{matrix}
     a+1+1>=0& \\ 
     a-1+1>=1& 
    \end{matrix}\right.
    $$
    解得$\frac{9}{8}>a>=1$
- $a<0$
  开口向下，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是小于直线方程上的$0,1$
    即 $$
    \large \left\{\begin{matrix}
     a+1+1<=0& \\ 
     a-1+1<=1& 
    \end{matrix}\right.
    $$
    解得$a<=-2$

    所以答案是两部分$\frac{9}{8}>a>=1$或$a<=-2$