![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/04/afed3d268ce7728a6c593e6574519043.png)

根据条件，知道$OA=\sqrt{3},OB=1$
$\therefore AB=2,\angle OAB=30^{\circ},\angle OBA=60^{\circ}$

### 第一问
当$A'B \perp  OB$时,$A'B=\sqrt{2},OA'=OA=\sqrt{3}$
$\therefore OB=\sqrt{\sqrt{3}^2=\sqrt{2}^2}=1$
$\therefore A'(\sqrt{2},1)$

### 第二问
$P$是中点，则$OP$是直角三角形$AOB$的斜边中线，
$\therefore OP=AP=A'P=BP=1$
$\because \angle OBA=60^{\circ}$
$\therefore \triangle OPB$是等边三角形
$\therefore \angle OPB=60^{\circ}$
$\therefore \angle OPA=120^{\circ}$
由于翻折，所以$\angle OPA=\angle OPA'$
$\therefore \angle BPA'=60^{\circ}$
$\therefore \triangle A'BP$是等边三角形
$\therefore A'B=1$ 

### 第三问