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TangDou/Topic/【换根】dfs专题.md

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 - 1.第一次扫描，任选一个点为根，在 **有根树** 上执行一次树形$DP$。
 - 2.第二次扫描，从刚才选出的根出发，对整棵树执行一次$DFS$，在每次递归前进行 **自上而下** 的推导，计算出 **换根** 之后的解。
 
+首先，我们选择结点$1$，然后树形$DP$一下:
+1、求出$f$数组($f[i]$表示以$1$这根的树，以$i$为根的子树中流量的最大值)。
+2、设$g[u]$表示以$u$为源点，流向整个水系的最大流量，则显然$g[1]=f[1]$。假设$g[u]$已经求出，考虑其子结点$v$，则$f[v]$包含两部分：
 
-首先，我们任选一个结点$root$，然后树形$DP$一下，求出$D_{root}$数组($D[i]$表示在以$i$为根的子树中流量的最大值)。然后设$f[x]$表示以$x$为源点，流向整个水系的最大流量，则显然
-$f[root]=D[root]$。假设$f[x]$已经求出，考虑其子结点$y$，则$f[y]$包含两部分：
+- 1.从$v$流向以$v$为根的子树的流量，已经计算出来。
+- 2.从$v$沿着到父节点$u$的河道，进而流向水系中其他部分的流量。
 
-1.从$y$流向以$y$为根的子树的流量，已经计算出来。
-2.从$y$沿着到父节点$x$的河道，进而流向水系中其他部分的流量。
+由题意可得，从$u$流向$v$的流量为$min(f[v],c[u][v])$，所以从$u$流向除$v$以外其他部分的流量就是二者之差$g[u]−min(f[v],c[u][v])$。于是，把$v$作为源点，先流到$u$，再流向其他部分的流量就是把这个 **差** 再与$c[u][v]$取较小值后的结果。
 
-由题意可得，从$x$流向$y$的流量为$min(D[y],c[x][y])$，所以从$x$流向除$y$以外其他部分的流量就是二者之差$f[x]−min(D[y],c[x][y])$。于是，把$y$作为源点，先流到$x$，再流向其他部分的流量就是把这个“差”再与$c[x][y]$取较小值后的结果。
+$$
+\large \left\{\begin{matrix}
+g[v]=f[v]+min(g[u]−min(f[v],c[u][v])−c[u][v]) & du[u]>1 \\ 
+g[v]=f[v]+c[u][v] &  du[u]==1
+\end{matrix}\right.
+$$
+
+这是一个由上而下的递推方程，我们通过一次$dfs$即可实现。
 
-$if(du[x]>1)→f[y]=D[y]+min(f[x]−min(D[y],c[x][y])−c[x][y])$
-$if(du[x]==1)→f[y]=D[y]+c[x][y]$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <iostream>
+#include <cstdio>
+#include <vector>
+#include <cstring>
+using namespace std;
+const int N = 2e5 + 10, M = N << 1;
+
+int n, du[N];
+
+// 链式前向星
+int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
+void add(int a, int b, int c = 0) {
+    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
+}
+
+int f[N], g[N];
+
+// 以1号点为根， 由子推父，先递归，再统计
+void dfs1(int u, int fa) {
+    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+        int v = e[i];
+        if (v == fa) continue;
+        dfs1(v, u);
+        if (du[v] == 1) // 如果v的度为1，也就是叶子
+            f[u] += w[i];
+        else
+            f[u] += min(f[v], w[i]);
+    }
+}
+void dfs2(int u, int fa) {
+    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+        int v = e[i];
+        if (v == fa) continue;
+        if (du[u] == 1)
+            g[v] = f[v] + w[i];
+        else
+            g[v] = f[v] + min(g[u] - min(f[v], w[i]), w[i]);
+        // 先计算再递归
+        dfs2(v, u);
+    }
+}
 
-这是一个由上而下的递推方程，我们通过一次DFS即可实现。
+int main() {
+    // 加快读入
+    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
+    int T;
+    cin >> T;
+    while (T--) {
+        // 初始化链式前向星
+        memset(h, -1, sizeof h);
+        idx = 0;
+        memset(du, 0, sizeof du);
+        memset(f, 0, sizeof f);
+        memset(g, 0, sizeof g);
+
+        cin >> n;
 
+        int a, b, c;
+        for (int i = 1; i < n; i++) { // 树，n-1条无向边
+            cin >> a >> b >> c;
+            add(a, b, c), add(b, a, c);
+            du[a]++, du[b]++; // 记录入度,无向图就不谈入度和出度了
+        }
+        // 第一遍dfs
+        dfs1(1, 0);
+        g[1] = f[1];
+
+        // 第二遍dfs
+        dfs2(1, 0);
+
+        int ans = 0;
+        for (int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans, g[i]);
+        cout << ans << endl;
+    }
+    return 0;
+}
+```
 
 ####[$CF708C$ $Centroids$](https://www.luogu.com.cn/problem/CF708C)
 https://blog.csdn.net/TheSunspot/article/details/118216638