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TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1321.md

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 <font size=5 color='red'><center><b>设$b$ = 堆数 + 石子总数 - $1$</b></center></font>
 <font size=5 color='red'><center><b>结论:$b$是奇数⟺先手必胜,$b$是偶数⟺先手必败</b></center></font>
 
-**证明：**
-1、**特殊情况**：当我们只有一堆石子且该堆石子个数为$1$个时，$b=1$，先手必胜。
-2、当$b$为奇数，一定可以通过某种操作将$b$变成偶数
-* 如果堆数大于$1$，合并两堆让$b$变为偶数
-* 如果堆数等于$1$，从该堆石子中取出一个就可以让$b$变为偶数
-
-3、当$b$为偶数，无论如何操作，$b$都必将变为奇数
-* 合并两堆，则$b$变为奇数
-* 从某一堆中取走一个石子:
-  * 若该堆石子个数大于$2$，则$b$变为奇数，且所有堆石子数量严格大于$1$
-  * 若该堆石子个数等于$2$，取一个石子后，$b$变为奇数，该堆石子个数变为$1$个,此时就再是子空间范围内了，因为出现某堆的石子个数为$1$，而不是每一堆都大于等于$2$了!需要继续分类讨论:
-
-####　特殊情况  
-此时为了保证所有堆的石子个数大于$1$，**足够聪明的对手** 可以进行的操作分为两类：
-  ① 如果只有这一堆石子，此时 **对手必胜**
-  ② 如果有多堆石子，可以将这一个石子合并到其他堆中，这样每对石子个数都大于$1$
-  
-  **$Q$:对手为什么一定要采用合并的操作，而不是从别的堆中取石子呢?**
-    我来举两个简单的栗子：
-    
-  * **只有一堆石子**
-    石子个数是$2$个。你拿走一个，对手直接拿走另一个，游戏结束，**对手赢了**！你也是足够聪明的，你会在这种情况下这么拿吗？不能吧~，啥时候可能遇到这个情况呢？就是你被 **逼到** 这个场景下，也就是一直处于必败态！
- 
-  * **两堆石子**
-    每堆石子个数是$2$个。**我是先手**，可以有两种选择：
-    
-    (1)、从任意一堆中拿走$1$个, 现在的局面是$\{2,1\}$    
-    $$\large 后手选择(对手) \Rightarrow 
-     \left\{\begin{matrix}
-     从2中取一个 &  \Rightarrow  \{1,1\}  & \Rightarrow 
-     \large \left\{\begin{matrix}
-   先手合并 \Rightarrow \{2\}& 剩下一个一个取，先手胜 \\ 
-  先手后手一个一个取 \Rightarrow 先手败 & 
-  \end{matrix}\right.  
-      \\ 
-     从1中取一个&  \Rightarrow \{2,0\} &  剩下一个一个取，先手败\\
-     合并两堆 & \Rightarrow \{3\}  & 剩下一个一个取，先手胜 \\
-    \end{matrix}\right.
-    $$
-    指望对手出错我才有赢的机会，人家要是聪明，我就废了!
-    
-    我是先手，我肯定不能把自己的命运交到别人手中！我选择合并两堆，这样我保准赢！
-  
-    (2)、把两堆直接合并，现在的状态$\{4\}$
-    这下进入了我的套路，你取吧，你取一个，我也取一个；你再取一个，我也再取一个，结果，没有了，**对手必败**。
-  
-  上面的例子可能不能描述所有场景，我现在$b$是奇数，我在必胜态，我不会让自己陷入到$b$可能是偶数的状态中去，如果我选择了 
-  - 合并操作减少$1$个堆
-  - 拿走操作减少$1$个石子
-    都会把$b-1$这个偶数态给对方
+我们可以发现，当$n$是$1$的时候，这样结论显然成立。  
 
-  我不会傻到一个操作，即可能造成堆也变化，让石子个数也变化，这样就得看对方怎么选择了，而他还那么聪明，我不能犯这样的错误。
+然后分类讨论：
 
-### 四、本题情况
-本题中可能存在一些堆的石子个数等于$1$:
-* 假设有$a$堆石子，其中每堆石子个数为$1$
-* 剩余堆的石子个数都严格大于$1$
+**情况$1$：没有数量为$1$的堆** 
+
+先证明奇数必胜，对于先手来说，
+  - $n>1$, 那么 **只要选两堆合并**， 那么 **总操作数变成偶数**
+  - $n=1$, 明显只能选择减少$1$操作，后手还是偶数。
+   
+对于后手来说，无论他是减少$1$,还是合并操作，留下的总操作数一定还是奇数。 
+
+对于某些读者来说，可能会问，如果后手把某个$2$变成$1$,先手该怎么办，其实这个很容易操作，如果堆数超过$1$,先手一定选择合并这个数量为$1$的堆，如果只有一堆了而且还是$1$,明显先手必胜了。 所以，先手总是有办法让后手必败（操作数为偶数的局面)，后手无论怎么走，都会让先手必胜(变成操作为奇数的局面)，所以我们证明成立。 
+
+在上面，我们也证明了当操作数是偶数的时候，先手是必败的。 
+ 
 
-根据这些数量大于$1$的堆的石子可以求出上述定义出的$b$，我们使用$f(a, b)$表示此时先手必胜还是必败,因为博弈论在本质上是可以递推的，我们可以想出起点，再想出递推关系，就可以递推得到更大数据情况下的递推值，也就是博弈论本质上是$dp$。
+**情况$2$：有数量为$1$的堆** 
 
-<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/05/15/61813_30ead721b5-image-20210515211400052.png'></center>
+这个情况比较复杂，因为如果某个人把$1$减少$1$,那么这个堆同时也消失了，相当于操作数减少了$2$。 
 
-<font color='red' size=4><b>相关疑问</b></font> 
-$Q1:$**情况**$3$**为什么是两个表达式？**
-答： 
-①当右侧存在时，合并左边两堆石子，则右侧多出一堆石子，并且，石子个数增加$2$,也就是$b+=3$
+下面我们采用了动态规划的思想，用记忆化搜索来模拟演示一下:  
 
-②当右侧一个都没有的时候，左边送来了一堆，两个石子，按$b$的定义，是堆数+石子个数$-1=2$，即$b+=2$
+$f[a][b]$ 表示当数量为$1$的堆有$a$个，剩下的堆的操作数是$b$的时候，先手是必胜还是必败，
+f[a][b]=1 表示必胜，否则必败。$b$中不会出现数量为$1$的堆，除非只剩下一个堆了。   
 
-$Q2:$**情况**$2$**从右边取一个石子，如果此时右侧存在某一堆中石子个数是$2$,取走$1$个后，变成了$1$,不就是右侧减少了一个堆，减少了两个石子，即$b-=3$；同时，此堆石子个数变为$1$，左侧个数$a+=1$，为什么没有看到这个状态变化呢？**
+情况1： 当a>=2的时候，合并两个数量为1的堆，这样就让b这边的操作数增加了2+(b>0)，因为如果原来b大于0，相当于操作数增加了3，否则b原来是0,那么操作是只增加2. 
+情况2： 和a>0 并且b>0 的时候，我们可以合并一个数量为1的堆和b中一个数量不为1的堆，那么a减少1,b增加1
+情况3：b>=2,我们合并b里面的两个堆或者减少1，无论哪种，都是让b里面的操作数减少1。 
+情况4： 当a>0的时候，我们可以减少一个数量为1的堆，这样a就减少1,b不变。  
 
-答：<font color='red' size=4><b>这是因为聪明人不会从右侧某个石子数量大于$2$的堆中取走石子!</b></font>
 
-看一下 **讨论简单情况** 中第$3$点后面的 **特殊情况**:
-  - 如果右侧只有一堆，石子数量为$2$，拿走$1$个，剩$1$个，一堆一个，对方必胜，此为必败态
-  
-  - 如果右侧大于一堆，某一堆只有$2$个石子，拿走$1$个，剩$1$个，对手足够聪明，会采用右侧两堆合并的办法，此时 石子数量减$1$,堆数减$1$，对$b$的影响是减$2$,对$b$的奇偶性没有影响,换句话说，如果你现在处在必败态，你这么整完，还是必败态
+另外有一种非常特殊的情况，就是$b$等于$1$了，刚才我们说了，$b$里面不会出现数量为$1$的堆，除非只剩下一个堆了。因为$b$里面只要堆的数量超过$1$,就一定可以用合并超过替代减少$1$操作，这样是等价的。 
 
+除非$b$里面只有一个堆了，那么我们就只能不断减少$1$了。   
 
-### 五、时间复杂度
-这里因为$a$最大取$50$，$b$最大取$50050$，因此计算这些状态的计算量为$2.5×10^6$，虽然有最多$100$次查询，但是这些状态每个只会计算一遍，因此不会超时。
+所以当$b$是$1$的时候，实际我们求的问题应该变成$f[a+1][0]$
 
 
 ### 六、实现代码