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@ -47,30 +47,32 @@ NO
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### 二、博弈论总结
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<font size=4 color='red'><b>
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必胜态 $\Rightarrow$ 选择合适方案 $\Rightarrow$ 必败态
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必败态 $\Rightarrow$ 选择任何路线 $\Rightarrow$ 必胜态
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</b></font>
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必胜态 $\Rightarrow$ 选择合适方案 $\Rightarrow$ 对手必败态
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必败态 $\Rightarrow$ 选择任何路线 $\Rightarrow$ 对手必胜态
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</b></font>
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### 三、简单情况
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为什么会想到讨论简单情况呢？我们来思考一下：如果某一堆石子只有$1$个，随着我们执行拿走$1$个的操作，它的堆就没了，这样石子个数变了，堆数也变了，两个变量，问题变复杂了，我们上来就想难题，怕是搞不定。
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既然这样，我们就思考一下 **子空间** ：只考虑所有个数大于等于$2$的那些堆，其它可能存在石子数等于$1$的，等我们想明白这个简单问题再研究扩展的事，由易到难。
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对手聪明绝顶，不会犯错误，一旦他有机会获胜，他一定能找到合适的方案！所以，一定不能让他有机会，也就是总要让他总是处于必败状态，你才能获胜！
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同时，我们需要思考博弈的胜负与什么因素相关呢？因为只有两种操作：**拿走一个石子、合并两堆**，很显然，**两个关键因素：石子个数、堆数**
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### 三、思考过程
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同时，两个操作同一时间只能执行一个，所以可以理解为拿走一个石子对结果影响一下，合并两堆石子对结果也是影响一下，初步考虑应该堆个数与石子总数的加法关系相关。
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**$Q1$:本题中博弈的胜负与什么因素相关呢？**
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**答**：因为只有两种操作：**拿走一个石子、合并两堆**，很显然， 两个关键因素： **石子个数、堆数**
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**$Q2$:一般情况是什么，特殊情况是什么呢？**
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**答**：如果某一堆石子只有$1$个，随着我们执行拿走$1$个的操作，它的堆就没了，这样石子个数变了，堆数也变了，一下变两个，问题变复杂了，上来就想难题，怕是搞不定。
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既然这样，我们就思考一下 **一般情况** ：只考虑所有个数大于等于$2$的那些堆，其它可能存在石子数等于$1$的，等我们想明白这个一般情况问题再研究特殊情况的事，由易到难。
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**$Q3$:猜一下关联关系?**
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两个操作同一时间只能执行一个，可以理解为拿走一个石子对结果影响一下，合并两堆石子对结果也是影响一下，初步考虑应该堆个数与石子总数的加法关系相关。
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**子空间：当每堆的石子个数都是大于等于$2$时**
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**一般情况：当每堆的石子个数都是大于等于$2$时,猜的关联关系**
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<font size=5 color='red'><center><b>设$b$ = 堆数 + 石子总数 - $1$</b></center></font>
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<font size=5 color='red'><center><b>结论:$b$是奇数⟺先手必胜,$b$是偶数⟺先手必败</b></center></font>
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**证明：**
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1、边界：当我们只有一堆石子且该堆石子个数为$1$个时，$b=1$，先手必胜。
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1、**特殊情况**：当我们只有一堆石子且该堆石子个数为$1$个时，$b=1$，先手必胜。
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2、当$b$为奇数，一定可以通过某种操作将$b$变成偶数
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* 如果堆数大于$1$，合并两堆让$b$变为偶数
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* 如果堆数等于$1$，从该堆石子中取出一个就可以让$b$变为偶数
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@ -138,16 +140,7 @@ $Q1:$**情况**$3$**为什么是两个表达式？**
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②当右侧一个都没有的时候，左边送来了一堆，两个石子，按$b$的定义，是堆数+石子个数$-1=2$，即$b+=2$
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$Q2$：**为什么用一个奇数来描述简单情况的状态，而不是用偶数呢？**
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答：因为要通过递推式进行计算，最终的边界是需要我们考虑的:
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- 如果用奇数，那么边界就是$b=1$,表示只有$1$堆，石子数量只有$1$个，此时当然必胜。
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- 如果用偶数，比如边界是$b=0$,表示目前$0$堆，$0$个石子，这都啥也没有了，还必胜态，不符合逻辑，说不清道不明。
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- 那要是不用$b=0$做边界，用$b=2$呢？表示只有$1$堆，石子数量只有$1$个，这个应该也是可以，但没有再仔细想了。
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$Q3:$**情况**$2$**从右边取一个石子，如果此时右侧存在某一堆中石子个数是$2$,取走$1$个后，变成了$1$,不就是右侧减少了一个堆，减少了两个石子，即$b-=3$；同时，此堆石子个数变为$1$，左侧个数$a+=1$，为什么没有看到这个状态变化呢？**
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$Q2:$**情况**$2$**从右边取一个石子，如果此时右侧存在某一堆中石子个数是$2$,取走$1$个后，变成了$1$,不就是右侧减少了一个堆，减少了两个石子，即$b-=3$；同时，此堆石子个数变为$1$，左侧个数$a+=1$，为什么没有看到这个状态变化呢？**
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答：<font color='red' size=4><b>这是因为聪明人不会从右侧某个石子数量大于$2$的堆中取走石子!</b></font>
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@ -227,71 +220,3 @@ int main() {
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return 0;
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}
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```
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思路： 我们可以简单猜想当总操作数
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∑
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a
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[
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i
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]
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+
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n
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−
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1
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是奇数的时候，先手必胜。 但事实并非如此，有些情况并不成立 。 我们可以发现，当n是1的时候，这样结论显然成立。
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另外，我们还可以总结出当没有数量为1的石子堆时，这个结论也是成立的。 下面我们先来证明这个结论。
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猜想： 当没有数量为1的堆，上面和是奇数的时候，先手必胜，如果是偶数，先手必败。
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1. 先证明奇数必胜，对于先手来说，如果n>1，那么只要选两堆合并， 那么总操作数变成偶数，n=1明显只能选择减少1操作，后手还是偶数。对于后手来说，无论他是减少1,还是合并操作，留下的总操作数一定还是奇数。
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对于某些读者来说，可能会问，如果后手把某个2变成1,先手该怎么办，其实这个很容易操作，如果堆数超过1,先手一定选择合并这个数量为1的堆，如果只有一堆了而且还是1,明显先手必胜了。 所以，先手总是有办法让
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后手必败（操作数为偶数的局面)，后手无论怎么走，都会让先手必胜(变成操作为奇数的局面)，所以我们证明成立。
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2. 在上面，我们也证明了当操作数是偶数的时候，先手是必败的。
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接下来我们考虑有数量为1的堆的时候的情况，这个情况比较复杂，因为如果某个人把1减少1,那么这个堆同时也消失了，相当于操作数减少了2。
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由于数据规模不是很大，我们采用了动态规划的思想，用记忆化搜索来实现情况。
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f
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[
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a
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]
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[
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b
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]
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表示当数量为1的堆有a个，剩下的堆的操作数是b的时候，先手是必胜还是必败，
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f
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[
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a
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]
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[
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b
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]
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=
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1
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表示必胜，否则必败。b中不会出现数量为1的堆，除非只剩下一个堆了。
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情况1： 当a>=2的时候，合并两个数量为1的堆，这样就让b这边的操作数增加了2+(b>0)，因为如果原来b大于0，相当于操作数增加了3，否则b原来是0,那么操作是只增加2.
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情况2： 和a>0 并且b>0 的时候，我们可以合并一个数量为1的堆和b中一个数量不为1的堆，那么a减少1,b增加1
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情况3：b>=2,我们合并b里面的两个堆或者减少1，无论哪种，都是让b里面的操作数减少1。
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情况4： 当a>0的时候，我们可以减少一个数量为1的堆，这样a就减少1,b不变。
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另外有一种非常特殊的情况，就是b等于1了，刚才我们说了，b里面不会出现数量为1的堆，除非只剩下一个堆了。因为b里面只要堆的数量超过1,就一定可以用合并超过替代减少1操作，这样是等价的。
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除非b里面只有一个堆了，那么我们就只能不断减少1了。
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所以当b是1的时候，实际我们求的问题应该变成f[a+1][0]
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以上内容是我自己的一个总结，网上有些题解感觉写的不是很清楚，我自己理了一下思路，重新写了一个题解。
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