'commit'

TangDou/AcWing/BeiBao/4.md

@@ -34,10 +34,10 @@ $0<v_i,w_i,s_i≤100$
 
 ### 二、分析过程
 
--  状态表示:$f[i][j]$
+-  **状态表示:$f[i][j]$**
      集合：从前$i$个物品中选，总体积不超过$j$的所有选法
      属性：$max($集合中每种选法总价值$)$            
--  状态计算
+-  **状态计算**
      集合划分的过程，和完全背包很像，但不像完全背包有无穷多个，而是有数量限制
             
 $$f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]*k]+v_i*k)  \ \ k \in \{0,1,2,3,...\}$$

TangDou/AcWing/BeiBao/5.drawio

@@ -0,0 +1 @@
+<mxfile host="Electron" modified="2024-03-12T01:53:17.907Z" agent="5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) draw.io/14.9.6 Chrome/89.0.4389.128 Electron/12.0.16 Safari/537.36" etag="fN_8LHEoFL5IPJiHtDTa" version="14.9.6" type="device"><diagram id="CjEDbDRbTRP9UjkVRqXU" name="第 1 页">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</diagram></mxfile>

TangDou/AcWing/BeiBao/5.md

@@ -1,24 +1,67 @@
 ##[$AcWing$ $5$. 多重背包问题 II](https://www.acwing.com/problem/content/description/5/)
 
-### 一、与朴素版本的区别
+
+### 一、题目描述
+有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。
+
+第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
+
+求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出**最大价值**。
+
+**输入格式**
+第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
+
+接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。
+
+**输出格式**
+输出一个整数，表示最大价值。
+
+**数据范围**
+$0<N≤1000$
+$0<V≤2000$
+$0<v_i,w_i,s_i≤2000$
+
+**提示**：
+本题考查多重背包的二进制优化方法。
+
+**输入样例**
+```cpp {.line-numbers}
+4 5
+1 2 3
+2 4 1
+3 4 3
+4 5 2
+```
+**输出样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+10
+```
+
+### 二、与 多重背包问题 $I$ 的区别
 区别在于数据范围变大了：现在是三个循环数据上限分别是$1000$(物品种数),$2000$(背包容积),第$i$种物品的体积、价值和数量的上限也是$2000$,原来的每个数字上限都是$100$！
 
-三重循环的话，计算次数就是 $1000 * 2000 * 2000=4000000000=4 * 1e9 =40$亿次
+解法$I$使用的是三重循环，计算次数就是 $1000 * 2000 * 2000=4000000000=4 * 1e9 =40$亿次
 
 $C++$一秒可以算$1e8$次，就是$1$亿次，$40$亿肯定会超时!
 
-### 二、二进制优化
+### 三、二进制优化
+
+**$Q$:怎么来优化呢？**
+答：我们先来思考一下为什么方法一的速度慢,因为三层循环:
+①  第一层遍历每个物品 
+②  第二层遍历每个可用的空间 
+③  第三层枚举当前物品使用了几个
 
-朴素多重背包做法的本质：将有数量限制的相同物品看成多个不同的$0-1$背包。
+**$Q$:我们最终的目标是什么?**
+答：要搞清楚最后每个物品选择了几个才是最优的，价值最大的。
 
-<font color='blue' size=4><b>优化思路：</b></font>
-比如我们从一个货车搬百事可乐的易拉罐（因为我爱喝不健康的快乐水~），如果存在$200$个易拉罐，小超市本次要的数量为一个小于$200$的数字$n$,搬的策略是什么呢？
+这里有一个比较妙的办法：就是用二进制思想把所有可能的组合都表示出来，转化为$01$背包问题！
 
-$A$、一个一个搬，直到$n$为止。
+假如$A$物品，有$10$个，你最后要几个不一定，可能是$0$个，$1$个,$2$个，....，$10$个。
 
-$B$、在出厂前打成$1$个一箱，$2$个一箱，$4$个一箱，$8$个一箱，$16$个一箱，$32$个一箱，$64$个一箱,乘下$73$个，不够下一轮的$128$个了,<font color='red'><b>该怎么办呢？剩下的打成$73$个一箱!</b></font>
+我们可以这样打包：
 
->为什么要把剩下的$73$个打成一个包呢？不是再分解成$64$,$32$这样的组合呢？这是因为本质是化解为$01$背包，一来这么分解速度最快，二来可以表示原来数量的任何子集。
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403120953334.png)
 
 
 ### 三、一维实现代码 <font color='red' size=4><b>【推荐】</b></font>

TangDou/AcWing/BeiBao/背包问题专题.md

@@ -365,3 +365,57 @@ int main() {
 
 ```
 
+### 六、多重背包
+**[$AcWing$ $4$. 多重背包问题 I](https://www.acwing.com/problem/content/description/4/)**
+
+**数据范围**
+$0<N,V≤100$
+$0<v_i,w_i,s_i≤100$
+
+**二维数组**
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+const int N = 110;
+int n, m;
+
+int f[N][N];
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 讨论每个物品
+        int w, v, s;
+        cin >> v >> w >> s;
+        for (int j = 0; j <= m; j++)                   // 讨论每个剩余的体积
+            for (int k = 0; k <= s && v * k <= j; k++) // 讨论加入的个数
+                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + w * k);
+    }
+    printf("%d\n", f[n][m]);
+    return 0;
+}
+```
+
+**一维数组**
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 110;
+
+int n, m;
+int f[N];
+
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        int v, w, s;
+        cin >> v >> w >> s;
+        for (int j = m; j >= v; j--)
+            for (int k = 0; k <= s && k * v <= j; k++)
+                f[j] = max(f[j], f[j - v * k] + w * k);
+    }
+    printf("%d\n", f[m]);
+    return 0;
+}
+```