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TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md

@@ -43,31 +43,27 @@ $1≤T≤10,1≤n≤1000,1≤a_i≤10^9$
 即：$(left[i][j],\underbrace{a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{a[i]\sim a[j]})$,$(\underbrace{a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{a[i]\sim a[j]},right[i][j])$ 为 **先手必败** 局面
 
 
-#### 2、神奇的性质
-① $left[i][j]$,$right[i][j]$一定存在
-② $left[i][j]$,$right[i][j]$必然唯一
-
-##### (1) $left[i][j]$ 的唯一性证明
-
+#### 2、性质1 $left[i][j]$,$right[i][j]$一定存在
 **反证法**:
-假设 $left(i,j)$ 不唯一，则存在非负整数 $x_1,x_2(x_1 \neq x_2)$，使得$(x_1,a_i,a_{i+1},⋯,a_{j−1},a_j)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},a_j)$ 均为必败局面,而 **第一个必败局面** 可以通过拿走左侧$x_1-x_2$个石子到达另一个 **必败局面** ，矛盾，假设不成立，唯一性显然。
-
-##### (2) $left[i][j]$ 的**存在性证明**
-<font color='red' size=4><b>反证法:</b></font>
-假设不存在满足定义的 $left[i][j]$，则对于 **任意非负整数** $x$，有形如:
+假设不存在满足定义的 $left[i][j]$，则对于 **任意正整数** $x$，有形如:
 
 $$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为**必胜局面**,记为 $A(x)$ 局面。
 
-由于 $A(x)$ 为必胜局面，故从 $A(x)$ 局面 <font color='red' size=4><b>必然存在$M$种一步可达必败局面</b></font>。
+由于 $A(x)$ 为必胜局面，故从 $A(x)$ 局面 <font color='red' size=4><b>必然存在若干种办法一步可达必败局面</b></font>。
 
 若从最左边一堆中拿，<font color='red' size=4><b>因为假设原因，不可能变成必败局面</b></font>，因为这样得到的局面仍形如 $A(x)$。
 
-<font color='red' size=4><b>注意包括此行在内的接下来几行默认 $x \neq 0$</b></font>
 
-左边拿没用，只能考虑从右边拿：
+左边拿没用，只能考虑从右边拿(即从$a_j$里拿)：
 于是设 $A(x)$ 一步可达的（某个）**必败局面**为 $(x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$，显然有 $0 \le y < a_j$。
 
-**由于 $x$ 有无限个，但 $y$ 只有 $a_j$种——根据抽屉原理，必存在 $x_1,x_2(x_1 \neq x_2),y$ 满足 $(x_1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 都是必败局面**。但这两个必败局面之间 **实际一步可达**，故矛盾，进而原命题成立。
+**由于 $x$ 有无限个，但 $y$ 只有 $a_j$种——根据抽屉原理，必存在 $x_1,x_2(x_1 > x_2),y$ 满足 $(x_1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 都是必败局面**。但这两个必败局面之间 **实际一步可达**(比如拿走$x_1-x_2$个)，矛盾，假设不成，原命题成立。
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+#### 3、性质2 $left[i][j]$,$right[i][j]$必然唯一
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+**反证法**:
+假设 $left(i,j)$ 不唯一，则存在非负整数 $x_1,x_2(x_1 \neq x_2)$，使得$(x_1,a_i,a_{i+1},⋯,a_{j−1},a_j)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},a_j)$ 均为必败局面,而 **第一个必败局面** 可以通过拿走左侧$x_1-x_2$个石子到达另一个 **必败局面** ，矛盾，假设不成立，原命题成立。
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