From ea36955eb85c4e809360147a348de253b961072e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=BB=84=E6=B5=B7?= <10402852@qq.com> Date: Tue, 26 Dec 2023 14:58:54 +0800 Subject: [PATCH] 'commit' --- TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md | 29 ++++++++++------------ 1 file changed, 13 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md index 759e954..776f5e9 100644 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md +++ b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md @@ -42,12 +42,13 @@ $1≤T≤10,1≤n≤1000,1≤a_i≤10^9$ 即：$(left[i][j],\underbrace{a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{a[i]\sim a[j]})$,$(\underbrace{a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{a[i]\sim a[j]},right[i][j])$ 为 **先手必败** 局面 +有如下两个性质： -#### 2、性质1 $left[i][j]$,$right[i][j]$一定存在 +#### 2、$left[i][j]$,$right[i][j]$一定存在 **反证法**: -假设不存在满足定义的 $left[i][j]$，则对于 **任意正整数** $x$，有形如: +假设不存在满足定义的 $left[i][j]$，则对于 **任意非负整数** $x$，有形如: -$$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为**必胜局面**,记为 $A(x)$ 局面。 +$$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为 **必胜局面** ,记为 $A(x)$ 局面。 由于 $A(x)$ 为必胜局面，故从 $A(x)$ 局面 必然存在若干种办法一步可达必败局面。 @@ -55,27 +56,23 @@ $$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为**必胜局面**, 左边拿没用，只能考虑从右边拿(即从$a_j$里拿)： -于是设 $A(x)$ 一步可达的（某个）**必败局面**为 $(x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$，显然有 $0 \le y < a_j$。 -**由于 $x$ 有无限个，但 $y$ 只有 $a_j$种——根据抽屉原理，必存在 $x_1,x_2(x_1 > x_2),y$ 满足 $(x_1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 都是必败局面**。但这两个必败局面之间 **实际一步可达**(比如拿走$x_1-x_2$个)，矛盾，假设不成，原命题成立。 +于是设 $A(x)$ 一步可达的某个 **必败局面**为 $(x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$，显然有 $0 \le y < a_j$。 -#### 3、性质2 $left[i][j]$,$right[i][j]$必然唯一 +**由于 $x$ 有无限个，但 $y$ 只有 $a_j$种——根据抽屉原理，必然存在 $x_1,x_2(x_1 > x_2),y$ 满足 $(x_1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 都是必败局面**。但这两个必败局面之间 **实际一步可达**(比如拿走$x_1-x_2$个)，矛盾，假设不成立，原命题成立。 + +#### 3、$left[i][j]$,$right[i][j]$必然唯一 **反证法**: 假设 $left(i,j)$ 不唯一，则存在非负整数 $x_1,x_2(x_1 \neq x_2)$，使得$(x_1,a_i,a_{i+1},⋯,a_{j−1},a_j)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},a_j)$ 均为必败局面,而 **第一个必败局面** 可以通过拿走左侧$x_1-x_2$个石子到达另一个 **必败局面** ，矛盾，假设不成立，原命题成立。 - - - -### 五、状态转移 - -#### 1、边界情况 +#### 4、边界情况 $$\LARGE left[i][i]=a_i$$ 当只有一堆石子时，我在这堆前面添加一堆，个数和这堆一样多，对于**两堆相同的石子**，**后手进行和先手对称的操作**,你咋干我就咋干，我拿完，你瞪眼~, **先手必败** -#### 2、递推关系 +#### 5、递推关系 * 变化方法：从左侧拿走一些石子或者从右侧拿走一些石子 * 让我们使用$left[i][j-1]$和$right[i][j-1]$来表示$left[i][j]$和$right[i][j]$,形成$DP$递推关系 @@ -83,11 +80,11 @@ $$\LARGE left[i][i]=a_i$$ ![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/cccc1a0f80d1475adcf8096aa9e35ff0.png) -#### 3、推论 +#### 6、推论 有了上面推的$left[i][j]$唯一性，得出一个有用的推论： **对于任意非负整数 $x \neq left(i,j)$，$\large (x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j)$为必胜局面** -#### 4、特殊情况:$L=R=0$ +#### 7、特殊情况:$L=R=0$ 为方便叙述，下文记 $left[i][j-1]$ 为 $L$，记 $right[i][j-1]$ 为 $R$，并令 $\displaystyle \large x=a_j(x>0)$ @@ -96,7 +93,7 @@ $$\LARGE left[i][i]=a_i$$ 注：因$R=0$,表示在[$i$,$j-1$]确定后，右侧为$0$就能满足[$i$,$j-1$]这一段为先手必败,此时，左侧增加那堆个数为$0$就可以继续保持原来的先手必败，即$L=0$。 -#### 5、分类讨论 +#### 8、分类讨论 * $x=R$（$Case$ $1$） 最简单的情况——根据 $R=right[i][j-1]$ 的定义，区间 $[i,j]$ 本来就是必败局面，因此左边啥也不能添，添了反而错，故