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@ -42,12 +42,13 @@ $1≤T≤10,1≤n≤1000,1≤a_i≤10^9$
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即：$(left[i][j],\underbrace{a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{a[i]\sim a[j]})$,$(\underbrace{a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{a[i]\sim a[j]},right[i][j])$ 为 **先手必败** 局面
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有如下两个性质：
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#### 2、性质1 $left[i][j]$,$right[i][j]$一定存在
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#### 2、$left[i][j]$,$right[i][j]$一定存在
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**反证法**:
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假设不存在满足定义的 $left[i][j]$，则对于 **任意正整数** $x$，有形如:
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假设不存在满足定义的 $left[i][j]$，则对于 **任意非负整数** $x$，有形如:
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$$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为**必胜局面**,记为 $A(x)$ 局面。
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$$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为 **必胜局面** ,记为 $A(x)$ 局面。
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由于 $A(x)$ 为必胜局面，故从 $A(x)$ 局面 <font color='red' size=4><b>必然存在若干种办法一步可达必败局面</b></font>。
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@ -55,27 +56,23 @@ $$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为**必胜局面**,
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左边拿没用，只能考虑从右边拿(即从$a_j$里拿)：
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于是设 $A(x)$ 一步可达的（某个）**必败局面**为 $(x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$，显然有 $0 \le y < a_j$。
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**由于 $x$ 有无限个，但 $y$ 只有 $a_j$种——根据抽屉原理，必存在 $x_1,x_2(x_1 > x_2),y$ 满足 $(x_1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 都是必败局面**。但这两个必败局面之间 **实际一步可达**(比如拿走$x_1-x_2$个)，矛盾，假设不成，原命题成立。
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于是设 $A(x)$ 一步可达的某个 **必败局面**为 $(x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$，显然有 $0 \le y < a_j$。
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#### 3、性质2 $left[i][j]$,$right[i][j]$必然唯一
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**由于 $x$ 有无限个，但 $y$ 只有 $a_j$种——根据抽屉原理，必然存在 $x_1,x_2(x_1 > x_2),y$ 满足 $(x_1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 都是必败局面**。但这两个必败局面之间 **实际一步可达**(比如拿走$x_1-x_2$个)，矛盾，假设不成立，原命题成立。
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#### 3、$left[i][j]$,$right[i][j]$必然唯一
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**反证法**:
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假设 $left(i,j)$ 不唯一，则存在非负整数 $x_1,x_2(x_1 \neq x_2)$，使得$(x_1,a_i,a_{i+1},⋯,a_{j−1},a_j)$ 和 $(x_2,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},a_j)$ 均为必败局面,而 **第一个必败局面** 可以通过拿走左侧$x_1-x_2$个石子到达另一个 **必败局面** ，矛盾，假设不成立，原命题成立。
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### 五、状态转移
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#### 1、边界情况
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#### 4、边界情况
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$$\LARGE left[i][i]=a_i$$
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当只有一堆石子时，我在这堆前面添加一堆，个数和这堆一样多，对于**两堆相同的石子**，**后手进行和先手对称的操作**,你咋干我就咋干，我拿完，你瞪眼~, **先手必败**
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#### 2、递推关系
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#### 5、递推关系
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* 变化方法：从左侧拿走一些石子或者从右侧拿走一些石子
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* 让我们使用$left[i][j-1]$和$right[i][j-1]$来表示$left[i][j]$和$right[i][j]$,形成$DP$递推关系
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@ -83,11 +80,11 @@ $$\LARGE left[i][i]=a_i$$
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#### 3、推论
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#### 6、推论
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有了上面推的$left[i][j]$唯一性，得出一个有用的推论：
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**对于任意非负整数 $x \neq left(i,j)$，$\large (x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j)$为必胜局面**
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#### 4、特殊情况:$L=R=0$
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#### 7、特殊情况:$L=R=0$
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为方便叙述，下文记 $left[i][j-1]$ 为 $L$，记 $right[i][j-1]$ 为 $R$，并令 $\displaystyle \large x=a_j(x>0)$
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@ -96,7 +93,7 @@ $$\LARGE left[i][i]=a_i$$
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<font color='red'><b>注：因$R=0$,表示在[$i$,$j-1$]确定后，右侧为$0$就能满足[$i$,$j-1$]这一段为先手必败,此时，左侧增加那堆个数为$0$就可以继续保持原来的先手必败，即$L=0$。</b></font>
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#### 5、分类讨论
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#### 8、分类讨论
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* $x=R$（$Case$ $1$）
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最简单的情况——根据 $R=right[i][j-1]$ 的定义，区间 $[i,j]$ 本来就是必败局面，因此左边啥也不能添，添了反而错，故
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