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黄海 1 year ago
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@ -42,7 +42,79 @@
因为拦截系统第一下是可以任意高的,以后只能拦截和它一样高,或者比它矮的,所以,这是一个**最长不上升子序列**。
**$Q2$:需要多少套拦截系统?**
这一问有两种办法,按思考的由易到难,说明贪心法与定理法:
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041334201.png)
我们用两个贪心的证明方法来证明:
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041346994.png)
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041346474.png)
> 解释:
> **$Q$:为什么一定可以放下去呢?**
> 答:因为$x$只能接在比它大的数字后面,由贪心法产生的序列,它前面是$a$,由最优解产生的序列,它前面是$b$,那么肯定有$a>=x,b>=x$,所以,是可以替换的。
#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N], f[N]; // 每个导弹的高度f[i]:以a[i]结尾的最长不升子序列长度
int q[N], ql; // 需要ql套拦截系统每个拦截系统最后一个拦截高度为q[i]
int n, res;
int main() {
while (cin >> a[n]) n++;
// 第一问
for (int i = 0; i < n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j++)
if (a[i] <= a[j]) // 如果前面的比当前的大,说明是不升序列
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
res = max(res, f[i]);
}
// 第二问
for (int i = 0; i < n; i++) {
/* 1、现有已经创建了ql套导弹系统
2、算法思路
(1) 在已有的所有导弹拦截系统中找到大于当前高度,并且最小的那个,把当前导弹用这套拦截系统进行拦截
(2) 如果找不到这样的拦截系统,说明当前所有拦截系统的最小拦截高度都小于当前导弹,都无法利用,必须新开一个拦截系统。
(3) 也就是说,只有前面拦截系统的最后一个拦截高度,都小于当前高度时,才会创建新的,所以,后面的拦截系统,它的尾巴值应该是最大的
(4) 比如:
q[0]:5
q[1]:6
现在来了一个高度=4,根据上面的原则应该放到q[0]里修改q[0]=4
q[0]:4
q[1]:6
原来的数组是单调上升的,修改后也依然是单调上升的。
再比如:
q[0]:4
q[1]:6
q[2]:7
现在来了一个a[i]=5,我们肯定要修改q[1]=5,变为:
q[0]:4
q[1]:5
q[2]:7
原来的数组是单调上升的,修改后也依然是单调上升的。
既然有这个规律那么就可以使用二分快速查找大于等于a[i]的位置p了
*/
int p = lower_bound(q, q + ql, a[i]) - q;
if (p == ql) // 如果没有找到可以接在后面的导弹拦截系统,那么需要创建一套新的拦截系统
q[ql++] = a[i];
else
q[p] = a[i]; // 否则就直接接到找到的第k套拦截系统的后面,那么第k套拦截系统的最后一个拦截高度=q[k]=h[i]
}
// 输出最长不升序列长度,即:最多能拦截的导弹数
printf("%d\n%d\n", res, ql);
return 0;
}
```
#### $Dilworth$ 定理
- **把序列分成不升子序列的最少个数,等于序列的最长上升子序列长度**
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问题一 套用 $LIS$ 模型即可求解。由 $Dilworth$ 定理,问题二等价于 另一个 $LIS$ 长度
#### 贪心法
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041334201.png)
我们用两个贪心的证明方法来证明:
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041346994.png)
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041346474.png)
#### $Code$
朴素作法 $O(N^2)$
```cpp {.line-numbers}

@ -5,11 +5,9 @@ const int N = 1010;
int a[N], f[N]; // 每个导弹的高度f[i]:以a[i]结尾的最长不升子序列长度
int q[N], ql; // 需要ql套拦截系统每个拦截系统最后一个拦截高度为q[i]
int res;
int n, res;
int main() {
// 用整行字符串+流的办法,读入多个带空格的数字
int n;
while (cin >> a[n]) n++;
// 第一问
for (int i = 0; i < n; i++) {
@ -21,12 +19,33 @@ int main() {
}
// 第二问
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 用贪心的思想来模拟创建新的导弹系统或者加入一个比h[i]大的导弹系统,并且,尾巴值最小的那套导弹系统中去
// q[cnt] : 现在共cnt套导弹系统q[i]记录的是每套导弹系统中最后一个拦截的高度
// int k = 0;
// while (k < ql && q[k] < a[i]) k++;
int p = lower_bound(q, q + ql, a[i]) - q;
/* 1、现有已经创建了ql套导弹系统
2
(1)
(2)
(3)
(4)
q[0]:5
q[1]:6
=4,q[0]q[0]=4
q[0]:4
q[1]:6
q[0]:4
q[1]:6
q[2]:7
a[i]=5,q[1]=5,
q[0]:4
q[1]:5
q[2]:7
使a[i]p
*/
int p = lower_bound(q, q + ql, a[i]) - q;
if (p == ql) // 如果没有找到可以接在后面的导弹拦截系统,那么需要创建一套新的拦截系统
q[ql++] = a[i];
else

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