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@ -44,9 +44,10 @@ $1≤N≤3000$,序列中的数字均不超过 $2^{31}−1$。
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### 二、前导知识
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[$AcWing$ $895$. 最长上升子序列](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15425546.html)
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**[$AcWing$ $895$. 最长上升子序列](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15425546.html)**
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**状态表示** $f[i]$表示从第一个数字开始算,以$a[i]$ **<font color='red'>结尾</font>** 的最长的上升序列长度。(以$a[i]$结尾的所有上升序列中属性为**最长**的那一个)
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**状态表示**
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$f[i]$表示从第一个数字开始算,以$a[i]$ **<font color='red'>结尾</font>** 的最长的上升序列长度。(以$a[i]$结尾的所有上升序列中属性为**最长**的那一个)
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**状态计算**
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@ -57,7 +58,7 @@ f[i] = max(f[i], f[j] + 1) & 0 \le j<i \ \& \ a[j]<a[i]
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$$
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[$AcWing$ $897$. 最长公共子序列](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15429296.html)
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**[$AcWing$ $897$. 最长公共子序列](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15429296.html)**
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定义$f[i][j]$是$a[]$以$i$结尾,$b[]$以$j$结尾的 **最长公共子序列长度**,但没有说$a[i]$或者$b[j]$一定要出现在最长公共子序列当中!这个最长公共子序列,可能是$a[]$和$b[]$的一些前序组成的,$a[i],b[j]$也可能没有对结果产生贡献。
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@ -68,17 +69,6 @@ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]) & a[i] \neq b[j]
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\end{array}\right.
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$
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这是两个经典$DP$模型的结合版:
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$LIS$ (最长上升子序列,$Longest$ $Increasing$ $Subsequence$)
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$LCS$ (最长公共子序列,$Longest$ $Common$ $Subsequence$)
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$LCIS$ (最长公共上升子序列,$Longest$ $Common$ $Increasing$ $Subsequence$)
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$LCIS$ 也是一个 **相当经典** 的$DP$模型,他的 **状态分析** 是 $LIS$ 与 $LCS$ 的结合,且听我慢慢道来
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### 三、本题解法
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闫氏$DP$分析法:(结合了$LCS$与$LIS$的状态表示的方法,可以很直接的发现二者的影子)
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@ -91,29 +81,14 @@ $LCIS$ 也是一个 **相当经典** 的$DP$模型,他的 **状态分析** 是
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#### 状态转移
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- $\large a_i \neq b_j$
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考虑 $a$ 数组中前$i-1$个数字, $b$数组中前$j$个数字 ,且当前以 $b[j]$ 结尾的子序列的方案转移过来:
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$$\large f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i−1,j}), a_i \neq b_j$$
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$$\large f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][j])$$
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- $\large a_i = b_j$
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考虑 $a$ 数组中前$i-1$个数字, $b$数组中前 $k$ 个数字 ,且当前以 $b[k]$ 结尾的子序列的方案转移过来:
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$$\large f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i−1,k}+1),k∈[0,j−1],a_i=b_j,b_j>b_k$$
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$$\large f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][k]+1),k∈[0,j−1],a_i=b_j,b_j>b_k$$
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如果直接按上述思路实现,需要三重循环:
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按上述思路实现,需要三重循环:
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```cpp {.line-numbers}
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for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
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for (int j = 1; j <= n; j ++ ){
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f[i][j] = f[i - 1][j]; //不管a[i]是否等于b[j],f[i][j]一定会从f[i-1][j]继承过来
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if (a[i] == b[j]){
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int maxv = 1; //最起码命中了一个a[i]==b[j],LCIS最少是1
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for (int k = 1; k < j; k ++ )
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if (a[i] > b[k]) // 不光是公共,还要上升
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maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
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f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
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}
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}
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}
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```
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#### 实现代码$O(N^3)$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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@ -122,7 +97,7 @@ const int N = 3010;
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int a[N], b[N];
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int f[N][N];
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int res;
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// 通过了 10/13个数据
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// O(n^3)
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int main() {
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int n;
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@ -138,14 +113,14 @@ int main() {
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f[i][j] = f[i - 1][j];
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// ③ 如果恰好 a[i]==b[j],那么就可以发生转移
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if (a[i] == b[j]) {
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int maxv = 1; // 最起码a[i]==b[j],有一个数字是一样嘀~
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int mx = 1; // 最起码a[i]==b[j],有一个数字是一样嘀~
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// f[i-1]是肯定的了,问题是b的前驱在哪里?需要枚举1~j-1
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for (int k = 1; k < j; k++)
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if (a[i] > b[k]) // 公共还不成,还需要上升
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if (b[j] > b[k]) // 需要上升
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// 找出公共且最长的
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maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
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mx = max(mx, f[i - 1][k] + 1);
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// 更新答案
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f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
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f[i][j] = max(f[i][j], mx);
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}
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}
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int res = 0;
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@ -158,9 +133,9 @@ int main() {
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### 四、优化
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**$Q$:朴素办法超时($10/16$),如何优化?**
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**$Q$:朴素办法超时($10/13$),如何优化?**
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观察到,对于第二种状态转移:$f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i−1,k}+1) \ k∈[0,j−1],a_i=b_j,b_j>b_k$
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观察到,对于第二种状态转移:$f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][k]+1) \ k∈[0,j−1],a_i=b_j,b_j>b_k$
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每次用到的 **状态** 都是第 $i - 1$ 个阶段的
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@ -186,11 +161,11 @@ int main() {
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int maxv = 1;
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int mx = 1;
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for (int j = 1; j <= n; j++) {
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f[i][j] = f[i - 1][j];
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if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
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if (a[i] > b[j]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
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if (a[i] == b[j]) f[i][j] = mx;
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if (a[i] > b[j]) mx = max(mx, f[i - 1][j] + 1);
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}
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}
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@ -199,6 +174,7 @@ int main() {
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return 0;
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}
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```
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### 五、空间优化
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