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TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1319.md

@@ -53,7 +53,8 @@ win
 如图：
 <center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2020/06/25/30334_2388c086b6-%E6%97%A0%E6%A0%87%E9%A2%98.png'></center>
 
-例图解释：
+**例图解释**：
+
 $SG(5)=mex({\phi})=0$
 $SG(3)=mex({SG(5)})=mex({0})=1$
 $SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2$
@@ -67,7 +68,9 @@ $SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1$
 
 **证明**：
 首先，由于这是一张有向无环图，所以游戏最后一定会结束，也就是说每个棋子最后都会移动到一个点上，且该点没有任何能到达的点。
-那么根据定义，结束状态的所有点的 $SG$ 函数值异或起来为 $0$，做法对于结束状态可行。
+
+根据定义，结束状态的所有点的 $SG$ 函数值异或起来为 $0$，**做法对于结束状态可行**。
+
 所以接下来，只要证明出
 
 - ① 任何一种每个棋子所在点的 $SG$ 函数值异或起来非 $0$ 的情况，一定能通过一次移动棋子，到达一个 每个棋子所在点的 $SG$ 函数值异或起来为 $0$ 的情况
@@ -79,15 +82,15 @@ $SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1$
 
 **证明** $1$：
 设每个棋子所在点的 $SG$ 函数值分别为 $a_1,a_2,⋯,a_n$
-设 $x=a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n$，设 $x$ 的最高位为第 $k$ 位，那么在 $a_1,a_2,⋯,a_n$ 中，一定有一个值的第 $k$ 位为 $1$。
-
-设该值为 $a_i$，那么由于 $x$ 的第 $k$位和 $a_i$ 的第 $k$ 位都是 $1$，且第 $k$ 位是 $x$ 的最高位，所以 $a_i XOR x$ 一定小于 $a_i$
+设 $x=a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n$，**此时$x$一定不等于$0$**。
+设 $x$ 的最高位为第 $k$ 位，那么在 $a_1,a_2,⋯,a_n$ 中，一定有一个值的第 $k$ 位为 $1$。
+设该值为 $a_i$，那么由于 $x$ 的第 $k$位和 $a_i$ 的第 $k$ 位都是 $1$,且,第 $k$ 位是 $x$ 的最高位，所以 $a_i XOR x$ 一定小于 $a_i$
 
 又因为 $a_i$ 是其中一个棋子所在点的 $SG$ 函数值，那么根据 $SG$ 函数值的定义，该点能到达的所有点中，一定存在一个点的 $SG$ 函数值为 $a_i XOR x$
 
 那么我们就可以将该点上的棋子，移到一个 $SG$ 函数值为 $a_i XOR x$ 的点上去
 
-移完之后，原来每个棋子所在点的 $SG$ 函数异或值就变为了 $a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_{i−1} XOR (a_i XOR x) XOR a_{i+1} ⋯ XOR a_n$
+**移完之后**，原来每个棋子所在点的 $SG$ 函数异或值就变为了 $a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_{i−1} XOR (a_i XOR x) XOR a_{i+1} ⋯ XOR a_n$
 
 $=(a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n) XOR x=x XOR x=0$
 
@@ -101,18 +104,11 @@ $=(a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n) XOR x=x XOR x=0$
 
 所以做法是正确的。
 
-那么如何求出每个点的 $SG$ 函数值呢？
+#### 3、如何求出每个点的 $SG$ 函数值呢？
 记忆化搜索就好啦~
 每层记忆化搜索中，如果该点的 $SG$ 函数值已经被计算出，那就直接返回该值。否则用一个 $set$ 记录每个点能到的所有点的 $SG$ 函数值集合，然后从 $0$ 开始遍历，找到第一个 $set$ 里面没有的数，将该值记录在该点上并返回。
 
 
-#### 3、回到本题
-- 如果只有一个棋子（棋子位置是$s$）：
-先手必胜 $\Leftrightarrow $ `sg(s)!=0`
-
-- 存在多个棋子（其实可以看成存在多个相同的棋盘，棋子的位置是$s_1,…,s_k$ 
-先手必胜 $\Leftrightarrow $ `sg(s1)^sg(s2)^...^sg(sk) != 0`
-
 ### 三、实现代码
 ```cpp {.line-numbers}
 #include <bits/stdc++.h>