From c3f3c337813ff992f6517377ac92110fbe8bb481 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=BB=84=E6=B5=B7?= <10402852@qq.com> Date: Tue, 19 Dec 2023 16:18:49 +0800 Subject: [PATCH] 'commit' --- TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217.md | 151 +++++---------------- TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217_dfs.cpp | 35 +++++ 2 files changed, 69 insertions(+), 117 deletions(-) create mode 100644 TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217_dfs.cpp diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217.md b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217.md index f96f671..e6157a0 100644 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217.md +++ b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217.md @@ -1,7 +1,7 @@ ##[$AcWing$ $217$. 绿豆蛙的归宿](https://www.acwing.com/problem/content/description/219/) ### 一、题目描述 -给出一个有向无环的连通图，起点为 $1$ ，终点为 $N$，每条边都有一个长度。 +给出一个 **有向无环的连通图**，起点为 $1$ ，终点为 $N$，每条边都有一个长度。 数据保证从起点出发能够到达图中所有的点，图中所有的点也都能够到达终点。 @@ -37,6 +37,13 @@ $1≤N≤10^5,1≤M≤2N$ ``` ### 二、数学期望 +期望的起点一般都是唯一的，终点一般都是不唯一的。 + +所以，一般我们喜欢从终点倒推。 + +$f(i)$：从$i$跳到$N$的期望长度。边界$f(N)=0$ +答案：$f(1)$ + 首先明白一点：到达某个结果的期望值 = 这个结果 * 从起始状态到这个状态的概率 @@ -60,145 +67,55 @@ $1≤N≤10^5,1≤M≤2N$ ③ 所有贡献值累加和就是期望 +#### 期望的线性性质 +$$\large E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$ -本题有 **正推** 和 **倒推** 两种写法: +根据本题题意我们可以进行递推 -#### 正推法 -
+$f(i)$: 从 $i$ 跳到 $N$ 的期望长度 +边界: $f(N)=0$ +所求的答案: $f(1)$ +则有如下递推式： -设： -- $a_1, a_2, a_3 … a_k$ 到 $j$ 的权值为 $w_1, w_2, w_3 … w_k$, -- 从起点到这$k$个点的概率为：$p_1, p_2, p_3 … p_k$ -- 每个点的出度为：$out_1, out_2, out_3, … , out_k$ +$\large f(i)=E(\frac{1}{k}(w_1+x_1)+\frac{1}{k}(w_2+x_2)+⋯+\frac{1}{k}(w_k+x_k)) \\ +=E(\frac{1}{k}(w_1+x_1))+E(\frac{1}{k}(w_2+x_2))+⋯+E(\frac{1}{k}(w_k+x_k))\\ +=\frac{1}{k}((w_1+E(x_1))+(w_2+E(x_2))+⋯+(w_k+E(x_k))) \\ +=\frac{1}{k}((w_1+f(i_1))+(w_2+f(i_2))+⋯+(w_k+f(i_k)))$ -这里的$1\sim k$个点的从起点的到该点的概率一定是确定的,也就是说这个点的概率是被更新完的，即此时这个点的入度为$0$！ - -那么就有： -$$f(i):表示从起点到i点的期望距离$$ -$$f(j)=\frac{f(1)+w_1\times p_1}{out_1}+\frac{f(2)+w_2\times p_2}{out_2}+\frac{f(3)+w_3\times p_3}{out_3}+...+\frac{f(k)+w_k\times p_k}{out_k} $$ - -#### 正推代码 ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; + const int N = 1e5 + 10, M = N << 1; -// 邻接表 +int n, m; int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx; +int out[N]; +double f[N]; + void add(int a, int b, int c) { e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; } - -int n, m; // n个顶点，m条边 - -int out[N], in[N]; // 出度,入度 -double f[N], g[N]; // f:数学期望结果 g:概率 - -void topsort() { - queue q; - // 起点为1,起点的概率为100% - q.push(1); - g[1] = 1.0; - f[1] = 0.0; - - // DAG，执行拓扑序,以保证计算的顺序正确，确保递归过程中，前序数据都已处理完毕 - while (q.size()) { - auto u = q.front(); - q.pop(); - - for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { // 枚举的是每边相邻边 - int v = e[i]; // 此边，一端是t，另一端是j - // 此边边条w[i] - f[v] += (f[u] + w[i] * g[u]) / out[u]; - g[v] += g[u] / out[u]; // g[j]也需要概率累加 - // 拓扑序的标准套路 - in[v]--; - if (!in[v]) q.push(v); - } +double dfs(int u) { + if (f[u] >= 0) return f[u]; // 如果u点计算过，记忆化搜索返回结果值 + f[u] = 0; // 初始化为0，准备开始填充 + for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { + int j = e[i]; + f[u] += (w[i] + dfs(j)) / out[u]; // 看推的公式 } + return f[u]; } - int main() { - // 初始化邻接表 memset(h, -1, sizeof h); cin >> n >> m; - while (m--) { int a, b, c; cin >> a >> b >> c; add(a, b, c); - // 维护出度，入度 - out[a]++, in[b]++; - } - // 拓扑序 - topsort(); - - // 正向递推，输出结果，保留两位小数 - printf("%.2lf", f[n]); - - return 0; -} -``` -#### 倒推法 -现在学会了正推，来看看 **逆推**，即 **从终点找到起点** - - -
- -设 $f[x]$ 表示结点 $x$ 走到终点所经过的路径的期望长度。显然 $f[n]=0$ ，最后要求 $f[1]$ 。 - -一般来说，**初始状态确定时可用顺推，终止状态确定时可用逆推**。 - -设 $x$ 出发有 $k$ 条边，分别到达 $y_1,y_2...y_k$ ，边长分别为 $z_1,z_2...z_k$ ，根据数学期望的定义和性质，有： - -$$f[x]=\frac 1 k\times (f[y_1]+z_1)+\frac 1 k\times (f[y_2]+z_2)+...+\frac 1 k\times (f[y_k]+z_k)=\frac 1 k \times \sum_{i=1}^k(f[y_i]+z_i)$$ -根据设定已经确定是能够到达 $n$ 点了，概率为 $1$ 。 - -$f[n]$ 已知，需要求解 $f[1]$ ，建立 **反向图**，按照 **拓扑序** 求解。 - -#### 倒推代码 -```cpp {.line-numbers} -#include -using namespace std; -const int N = 100010, M = N << 1; -int n, m; -int in[N], g[N]; // 入度，入度的备份数组，原因：in在topsort中会不断变小受破坏 -double f[N]; - -// 链式前向星 -int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M]; -void add(int a, int b, int c = 0) { - e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++; -} - -void topsort() { - queue q; - q.push(n); - f[n] = 0; // n到n的距离期望是0 - while (q.size()) { - int u = q.front(); - q.pop(); - for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { // 枚举每条入边(因为是反向图) - int v = e[i]; - f[v] += (f[u] + w[i]) / g[v]; - in[v]--; - if (in[v] == 0) q.push(v); - } - } -} -int main() { - memset(h, -1, sizeof h); - cin >> n >> m; - - while (m--) { - int a, b, c; - cin >> a >> b >> c; - add(b, a, c); // 反向图,计算从n到1 - in[a]++; // 入度 - g[a] = in[a]; // 入度数量 + out[a]++; } - topsort(); - printf("%.2lf\n", f[1]); + memset(f, -1, sizeof f); + printf("%.2lf\n", dfs(1)); return 0; } ``` \ No newline at end of file diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217_dfs.cpp b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217_dfs.cpp new file mode 100644 index 0000000..9e6bbba --- /dev/null +++ b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/QiWang/217_dfs.cpp @@ -0,0 +1,35 @@ +#include +using namespace std; + +const int N = 1e5 + 10, M = N << 1; + +int n, m; +int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx; +int out[N]; +double f[N]; + +void add(int a, int b, int c) { + e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; +} +double dfs(int u) { + if (f[u] >= 0) return f[u]; // 如果u点计算过，记忆化搜索返回结果值 + f[u] = 0; // 初始化为0，准备开始填充 + for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { + int j = e[i]; + f[u] += (w[i] + dfs(j)) / out[u]; // 看推的公式 + } + return f[u]; +} +int main() { + memset(h, -1, sizeof h); + cin >> n >> m; + while (m--) { + int a, b, c; + cin >> a >> b >> c; + add(a, b, c); + out[a]++; + } + memset(f, -1, sizeof f); + printf("%.2lf\n", dfs(1)); + return 0; +} \ No newline at end of file