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@ -591,25 +591,96 @@ $$\large f[u]=c[u]+\sum_{v \in son_u}max(0,f[v])$$
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假如用暴力写法,就是对于每个结点$u$,暴力搜索所有的相邻结点,利用$dfs$暴力搜索。也就是以每个结点为棵出发,枚举$n$次$dfs$,但是结点最大为$2∗10^5$ 这个暴力算法显然会超时,考虑如何优化。
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#### 算法优化
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对于从下往上的贡献,可以利用从下往上的$dfs$树形$dp$进行获取,剩余的就是刨去以$v$为根的子树的贡献值比较难求。
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对于从下往上的贡献,可以利用从下往上的$dfs$树形$dp$进行获取,难求的是刨去以$v$为根的子树的贡献值,也就是向上走的那部分。
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在这里我们设$u$为结点$v$的父节点。$f[v]$代表从下往上以$v$为根的白点数减去黑点数的最大值,$dp[v]$代表最终的最大值。因此根据刨去以$v$为根的子树的贡献值这个思想,我们可以发现:
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设$u$为节点$v$的父节点,$f[v]$代表从下往上以$v$为根的 **白点数减去黑点数** 的 **最大值**,$g[v]$代表最终的最大值。
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$$\large add=dp[u]−max(0,f[v])$$
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根据刨去以$v$为根的子树的贡献值这个思想,可以发现:
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就是刨去以$v$为根的子树的贡献值。因此最终我们可以写出状态转移方程:
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$$\large dp[v] =
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$$\large add=g[u]−max(0,f[v])$$
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> **注**:$fa[v]=u$
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就是刨去以$v$为根的子树的贡献值。写出状态转移方程:
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$$\large g[v] =
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\left\{\begin{matrix}
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f[v] & if \ v = root \\
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f[v]+max(0,dp[fa]-max(0,f[v]))& if \ v \neq root
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f[v]+max(0,g[u]-max(0,f[v]))& if \ v \neq root
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\end{matrix}\right.
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$$
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因此最后我们的思路为:
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因此思路:
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- ① 从下往上树形$dp$,计算$f[v]$
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- ② 从上往下换根$dp$,计算$g[v]$
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**$Code$**
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 2e5 + 10, M = N << 1;
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// 链式前向星
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int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c = 0) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
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}
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int f[N];
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int g[N];
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int c[N]; // 颜色
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int n; // 节点数量
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// 以1号节点为根,跑一遍dfs,填充每个节点的cnt1-cnt2的最大值
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void dfs1(int u, int fa) {
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f[u] = c[u]; // 1:白色,-1黑色,正好与 cnt1-cnt2一致,初始值加上了老头子自己的养老钱
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (v == fa) continue;
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dfs1(v, u);
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f[u] += max(0, f[v]); // 如果我儿子给我,那我就拿着;如果我儿子不给我钱,或者管我要钱,我就不理它!
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}
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}
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// 换根dp
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void dfs2(int u, int fa) {
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (v == fa) continue;
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int val = g[u] - max(f[v], 0);
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g[v] = f[v] + max(val, 0);
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dfs2(v, u);
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}
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}
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int main() {
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// 初始化链式前向星
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int x;
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cin >> x;
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c[i] = (x ? x : -1); // 白色c[i]=1,黑色c[i]=-1
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}
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for (int i = 1; i < n; i++) {
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int a, b;
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cin >> a >> b;
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add(a, b), add(b, a);
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}
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- 从下往上树形$dp$,计算$f[v]$
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- 从上往下换根$dp$,计算$dp[v]$
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// 第一次dfs
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dfs1(1, 0);
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// 它们两个是一个意思
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g[1] = f[1];
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// 换根dp
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dfs2(1, 0);
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// 输出答案
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for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", g[i]);
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return 0;
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}
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[USACO12FEB]Nearby Cows G
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[COCI2014-2015#1]Kamp
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