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TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1324F.cpp

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-#include <bits/stdc++.h>
+#include <iostream>
+#include <cstdio>
+#include <cstring>
+#include <algorithm>
 using namespace std;
-const int N = 200010, M = N << 1;
+const int N = 2e5 + 10;
 
-// 链式前向星
-int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
-void add(int a, int b, int c = 0) {
-    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
-}
-
-int n, c[N];
+struct Edge {
+    int to, next;
+} edge[N << 1];
+int idx;
+int h[N];
 
-// 设白点个数cnt1,黑点个数cnt2, f[u]：以u为根的子树中，cnt1-cnt2的最大值
-int f1[N], f2[N];
+void add_edge(int u, int v) {
+    edge[++idx] = {v, h[u]};
+    h[u] = idx;
+}
 
-void dfs1(int u, int fa) {
-    if (c[u])
-        f1[u] = 1; // 如果u是白色则cnt1=1,那么目前黑色数量cnt2=0,cnt1-cnt2是固定值=1
-    else
-        f1[u] = -1; // 如果u是黑色则cnt1=0,那么目前黑色数量cnt2=1,cnt1-cnt2是固定值=0-1=-1
+int dp[N], f[N], vis[N], w[N];
+int n;
 
-    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
-        int v = e[i];
-        if (v == fa) continue;
-        dfs1(v, u);
-        f1[u] += max(f1[v], 0); // 为了贪图cnt1-cnt2的最大值，那么对结果有贡献的就竞争一下，如果都小于0了，就退出评比
+void dfs1(int p, int fa) {
+    dp[p] = w[p];
+    for (int i = h[p]; ~i; i = edge[i].next) {
+        int to = edge[i].to;
+        if (to == fa) continue;
+        dfs1(to, p);
+        if (dp[to] > 0) {
+            vis[to] = 1;
+            dp[p] += dp[to];
+        }
     }
 }
 
-// 换根dp
-void dfs2(int u, int fa) {
-    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
-        int v = e[i];
-        if (v == fa) continue;
-        // 本题的核心:递推式
-        f2[v] = max(f2[u] + f1[u] - max(f1[v], 0), 0);
-        dfs2(v, u);
+void dfs2(int p, int fa) {
+    for (int i = h[p]; ~i; i = edge[i].next) {
+        int to = edge[i].to;
+        if (to == fa) continue;
+        int val = f[p] - (vis[to] ? dp[to] : 0);
+        f[to] = dp[to] + (val > 0 ? val : 0);
+        dfs2(to, p);
     }
 }
+
 int main() {
-    // 初始化链式前向星
     memset(h, -1, sizeof h);
-    cin >> n;
-
-    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> c[i]; // 每个节点都有自己的颜色c[i]
-
-    for (int i = 1; i < n; i++) { // n-1条边
-        int a, b;
-        cin >> a >> b;
-        add(a, b), add(b, a);
+    scanf("%d", &n);
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        int x;
+        scanf("%d", &x);
+        w[i] = (x ? x : -1);
+    }
+    for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
+        int u, v;
+        scanf("%d%d", &u, &v);
+        add_edge(u, v);
+        add_edge(v, u);
     }
-    // 第一次dfs
+
     dfs1(1, 0);
-    // 第二次dfs,换根
+    f[1] = dp[1];
     dfs2(1, 0);
-    // 输出
-    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", f1[i] + f2[i]);
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", f[i]);
     return 0;
-}
+}

TangDou/Topic/【换根】dfs专题.md

@@ -576,14 +576,23 @@ signed main() {
 > - 如果是白色，$cnt_1=1,cnt_2=0$，$cnt_1-cnt_2=1-0=1$
 > - 如果是黑色，$cnt_1=0,cnt_2=1$，$cnt_1-cnt_2=0-1=-1$
 > 所以，可以理解为黑色记为$-1$，白色记为$1$。
- 
-很显然:
-$$\large f[u]=a_u+\sum_{v \in son_u}max(f_v,0)$$
 
-$a_i$就是$i$号点的颜色。
-那么可以根据上文的讲解得出:
-$$\large ans_i=f_i+max(ans_{fa}-max(f_i,0),0)$$
+则有：
+$$\large f_1[u]=c[u]+\sum_{fa[v] = u}max(f_1[v],0)$$
+> **解释**
+> ① $u$有很多儿子,其中某一个是$v$,对于以$v$为根的子树而言，如果它里面的$cnt_1-cnt_2>0$,则对于$u$而言，儿子$v$可以贡献$+(cnt_1-cnt_2)$的价值。
+如果$cnt_1-cnt_2<=0$，对于$u$而言，不搭理它就完了。题目中取最大值，就是有一个选还是不选的抉择问题：对我有益我要，对我无益我弃！所有好儿子给的钱累加到一起，都是我的钱。
+> ② $c[u]$可以理解为老头子自己的积蓄，除了儿子们给的，还要加上自己的老本。
 
+我们记$vis[u]$表示在计算节点$u$的父亲的$f_1$值时，节点$u$是否有被选，$1$表示被选，$0$表示未选。
+
+定义$f_2[u]$表示在整棵树中选一张包含$u$的连通子图的所有方案中，$cnt_1-cnt_2$的最大值。
+
+考虑$f_2[u]$的组成：一部分是以其为根的子树，即$f_1[u]$；另一部分即是在全局中将其子树挖掉后剩下的部分。这两部分互相独立，分别取最大值即可。
+
+考虑第二部分的计算：记$u$的父节点为$fa$，若$vis[u]=1$，则说明其包含在$dp[fa]$中，故这一部分即为$f[fa]-dp[u]$；若$vis[u]=0$，即其不包含在$dp[fa]$中，则这一部分为$f[fa]$。最后将这一部分的值与$0$取$max$即可。
+
+　所以整个算法只需要两遍$dfs$，第一遍自底向上计算出$dp$数组，第二遍以$f[1]$（强制$1$为根节点）自上向下计算出$f$数组，即为答案。
 
 [USACO12FEB]Nearby Cows G