diff --git a/TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md b/TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md index e5ec7c7..689db96 100644 --- a/TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md +++ b/TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md @@ -117,6 +117,70 @@ $⌊\frac{n}{d^2}⌋$是整除分块的基本形式,用整除分块优化, > **注**: > $d>\sqrt{n}$时,$⌊\frac{n}{d^2}⌋$恒等于$0$,只需要枚举到$\sqrt{n}$即可。 +#### $Code$ +```cpp {.line-numbers} +#include +using namespace std; +#define int long long +#define endl "\n" +const int M = 110; // 询问次数 +const int N = 10000010; // 莫比乌斯函数值的极限数据上限,sqrt(1e14)=1e7 +int n, sqrtN; // T次询问,每次都是1~n,sqrtN=sqrt(max(n)),真实上限 +int q[M]; // T次询问,用q数组记录下来 + +// 筛法求莫比乌斯函数(枚举约数) +int mu[N], sum[N]; // sum[N]:梅滕斯函数,也就是莫比乌斯函数的前缀和 +int primes[N], cnt; +bool st[N]; +void get_mobius(int n) { + mu[1] = 1; + for (int i = 2; i <= n; i++) { + if (!st[i]) { + primes[cnt++] = i; + mu[i] = -1; + } + for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) { + int t = primes[j] * i; + st[t] = true; + if (i % primes[j] == 0) { + mu[t] = 0; + break; + } + mu[t] = -mu[i]; + } + } + // 维护u(x)前缀和:梅滕斯函数 + for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i]; +} + +signed main() { +#ifndef ONLINE_JUDGE + freopen("SQP4168.in", "r", stdin); +#endif + int T; + cin >> T; + for (int i = 1; i <= T; i++) { + cin >> q[i]; + n = max(n, q[i]); // 找到最大的n,这样可以避免重复计算 + } + sqrtN = sqrt(n); // 最大的n,只需要枚举到sqrt(n)即可 + // 对有效范围内的数字求莫比乌斯函数 + get_mobius(sqrtN); // 线性求莫比乌斯函数, 前缀和 + + for (int i = 1; i <= T; i++) { // 离线处理,对于每个询问进行回答 + n = q[i]; // 第i次的n值 + int ans = 0; // 初始化返回结果 + for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) { // 整除分块 + if (n / (l * l) == 0) break; + // n / (l * l): 分块的左边界是l,值是n/(l*l),如果n<(l*l)时,l再长大也没用,也都是0 + // n/(l*l):整除分块中整个分块内的个数值,从n/(l*l)~n/(r*r)是同一个值 + r = sqrt(n / (n / (l * l))); // 求出右边界r + ans += n / (l * l) * (sum[r] - sum[l - 1]); // 利用莫比乌斯函数值前缀和求块的贡献 + } + cout << ans << endl; + } +} +``` **[$P4318$ 完全平方数](https://www.luogu.com.cn/problem/P4318)**