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TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md

@@ -117,6 +117,70 @@ $⌊\frac{n}{d^2}⌋$是整除分块的基本形式，用整除分块优化，
 > **注**：
 > $d>\sqrt{n}$时，$⌊\frac{n}{d^2}⌋$恒等于$0$，只需要枚举到$\sqrt{n}$即可。
 
+#### $Code$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+#define int long long
+#define endl "\n"
+const int M = 110;      // 询问次数
+const int N = 10000010; // 莫比乌斯函数值的极限数据上限,sqrt(1e14)=1e7
+int n, sqrtN;           // T次询问，每次都是1~n,sqrtN=sqrt(max(n)),真实上限
+int q[M];               // T次询问，用q数组记录下来
+
+// 筛法求莫比乌斯函数(枚举约数)
+int mu[N], sum[N]; // sum[N]:梅滕斯函数,也就是莫比乌斯函数的前缀和
+int primes[N], cnt;
+bool st[N];
+void get_mobius(int n) {
+    mu[1] = 1;
+    for (int i = 2; i <= n; i++) {
+        if (!st[i]) {
+            primes[cnt++] = i;
+            mu[i] = -1;
+        }
+        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
+            int t = primes[j] * i;
+            st[t] = true;
+            if (i % primes[j] == 0) {
+                mu[t] = 0;
+                break;
+            }
+            mu[t] = -mu[i];
+        }
+    }
+    // 维护u(x)前缀和:梅滕斯函数
+    for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
+}
+
+signed main() {
+#ifndef ONLINE_JUDGE
+    freopen("SQP4168.in", "r", stdin);
+#endif
+    int T;
+    cin >> T;
+    for (int i = 1; i <= T; i++) {
+        cin >> q[i];
+        n = max(n, q[i]); // 找到最大的n,这样可以避免重复计算
+    }
+    sqrtN = sqrt(n); // 最大的n，只需要枚举到sqrt(n)即可
+    // 对有效范围内的数字求莫比乌斯函数
+    get_mobius(sqrtN); // 线性求莫比乌斯函数, 前缀和
+
+    for (int i = 1; i <= T; i++) {              // 离线处理，对于每个询问进行回答
+        n = q[i];                               // 第i次的n值
+        int ans = 0;                            // 初始化返回结果
+        for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) { // 整除分块
+            if (n / (l * l) == 0) break;
+            // n / (l * l): 分块的左边界是l,值是n/(l*l),如果n<(l*l)时，l再长大也没用，也都是0
+            // n/(l*l):整除分块中整个分块内的个数值，从n/(l*l)~n/(r*r)是同一个值
+            r = sqrt(n / (n / (l * l)));                // 求出右边界r
+            ans += n / (l * l) * (sum[r] - sum[l - 1]); // 利用莫比乌斯函数值前缀和求块的贡献
+        }
+        cout << ans << endl;
+    }
+}
+```
 
  **[$P4318$ 完全平方数](https://www.luogu.com.cn/problem/P4318)**