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TangDou/AcWing_TiGao/T5/RongChi/UVA11806.cpp

@@ -37,9 +37,44 @@ int main() {
         }
 
         S = C[n * m][k]; // n*m个格子中找出k个格子站人，就是所有方案数
+        /*
+        S为总数
+        A为第一行没有站人
+        B为最后一行没有站人
+        C为第一列没有站人
+        D为最后一列没有站人
+
+        令：
+        s1 =(A+B+C+D)
+        s2=(AB+AC+AD+BC+BD+CD)
+        s3=(ABC+ABD+ACD+BCD)
+        s4=(ABCD)
+        */
+
+        // A:第一行没人，即C[(n-1)*m,k]
+        // B:最后一行没人,即C[(n-1)*m,k]
+        // C:第一列没人，即：C[n*(m-1),k]
+        // D:最后一列没人，即：C[n*(m-1),k]
         s1 = 2 * (C[n * (m - 1)][k] + C[(n - 1) * m][k]) % mod;
-        s2 = (C[(n - 2) * m][k] + 4 * C[n * m - n - m + 1][k] + C[n * (m - 2)][k]) % mod;
+
+        // AB:第一行，最后一行没有人，行少了2行，列不变，即C[(n-2)*m,k]
+        // AC:第一行，第一列没有人，行少了1行，列少了一列，即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // AD:第一行，最后一列没有人，即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // BC:最后一行，第一列没有人，即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // BD:最后一行，最后一列没有人,即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // CD:第一列，最后一列没有人,即C[n*(m-2),k]
+        // 中间4个是一样的：4*C[(n-1)*(m-1),k]
+        s2 = (C[(n - 2) * m][k] + 4 * C[(n - 1) * (m - 1)][k] + C[n * (m - 2)][k]) % mod;
+
+        // ABC:第一行、最后一行、第一列没有人，行少了2行，列少了1列，即C[(n-2)*(m-1),k]
+        // ABD:第一行、最后一行、最后一列没有人，行少了2行，列少了1列，即C[(n-2)*(m-1),k]
+        // ABC+ABD=2*C[(n-2)*(m-1),k]
+        // ACD:第一行、第一列、最后一列没有人，行少了1行，列少了2列，即 C[(n-1)*(m-2),k]
+        // BCD:最后一行、第一列、最后一列没有人，行少了1行，列少了2列，即 C[(n-1)*(m-2),k]
+        // ACD+BCD=2*C[(n-1)*(m-2),k]
         s3 = 2 * (C[(n - 2) * (m - 1)][k] + C[(n - 1) * (m - 2)][k]) % mod;
+
+        // 第一行，第一列，最后一行，最后一列都不能站，那么，剩下n-2行，m-2列，需要在(n-2)*(m-2)这么多的格子里找出k个格子
         s4 = C[(n - 2) * (m - 2)][k] % mod;
 
         ans = (S - s1 + s2 - s3 + s4) % mod; // 容斥原理

TangDou/Topic/容斥原理.md

@@ -789,6 +789,7 @@ signed main() {
 
 ### [$UVA$  $11806$  $Cheerleaders$](https://vjudge.net/problem/UVA-11806)
 
+<font color='red' size=4><b>考查了组合数公式、补集思想、容斥原理思想（不拘泥于质数+二进制枚举噢~）</b></font>
 #### 题意
 给定$n、m、k$三个数，$n$代表行数，$m$代表列数，$k$代表人数。
 
@@ -829,48 +830,88 @@ $s_3=(ABC+ABD+ACD+BCD)$
 $s_4=(ABCD)$
 
 ```cpp {.line-numbers}
-#include<iostream>
-#include<cstdio>
-#include<cstring>
+#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 
-const int mod=1000007;
-int data[510][510];
-
-void get_data()
-{
-    memset(data,0,sizeof(data));
-    for(int i=0;i<=500;i++)
-    data[i][0]=1;
-    for(int i=1;i<=500;i++)
-     for(int j=1;j<=i;j++)
-       data[i][j]=(data[i-1][j]+data[i-1][j-1])%mod;
-}
+const int mod = 1000007;
+const int N = 410;
+int C[N][N];
+int n, m, k, ans;
+/*
+Sample Input
+2
+2 2 1
+2 3 2
+Sample Output
+Case 1: 0
+Case 2: 2
+*/
+int main() {
+#ifndef ONLINE_JUDGE
+    freopen("UVA11806.in", "r", stdin);
+#endif
+    // 预处理出组合数结果数组
+    for (int i = 1; i < N; i++) {
+        C[i][0] = C[i][i] = 1;
+        for (int j = 1; j < i; j++)
+            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod;
+    }
 
-int main()
-{
-    int t,p=0;
-    cin>>t;
-    get_data();
-    while(t--)
-    {
-        p++;
-        int n,m,k;
-        int ans=0;
-        cin>>n>>m>>k;
-        for(int i=0;i<16;i++)
-        {
-            int cnt=0;
-            int row=n,col=m;
-            if(i&1) {row--;cnt++;}
-            if(i&2) {row--;cnt++;}
-            if(i&4) {col--;cnt++;}
-            if(i&8) {col--;cnt++;}
-            if(cnt%2==0) ans=(ans+data[row*col][k])%mod;
-            else ans=(ans+mod-data[row*col][k])%mod;
+    int T, cas = 1;
+    int S, s1, s2, s3, s4;
+    cin >> T;
+    while (T--) {
+        ans = 0;            // 多组测试数据，每次注意清零
+        cin >> n >> m >> k; // n行,m列,k个人
+        if (k == 0) {       // 一定要注意边界情况，比如0个人
+            printf("Case %d: 0\n", cas++);
+            continue;
         }
-        cout<<"Case "<<p<<": ";
-        cout<<ans<<endl;
+
+        S = C[n * m][k]; // n*m个格子中找出k个格子站人，就是所有方案数
+        /*
+        S为总数
+        A为第一行没有站人
+        B为最后一行没有站人
+        C为第一列没有站人
+        D为最后一列没有站人
+
+        令：
+        s1 =(A+B+C+D)
+        s2=(AB+AC+AD+BC+BD+CD)
+        s3=(ABC+ABD+ACD+BCD)
+        s4=(ABCD)
+        */
+
+        // A:第一行没人，即C[(n-1)*m,k]
+        // B:最后一行没人,即C[(n-1)*m,k]
+        // C:第一列没人，即：C[n*(m-1),k]
+        // D:最后一列没人，即：C[n*(m-1),k]
+        s1 = 2 * (C[n * (m - 1)][k] + C[(n - 1) * m][k]) % mod;
+
+        // AB:第一行，最后一行没有人，行少了2行，列不变，即C[(n-2)*m,k]
+        // AC:第一行，第一列没有人，行少了1行，列少了一列，即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // AD:第一行，最后一列没有人，即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // BC:最后一行，第一列没有人，即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // BD:最后一行，最后一列没有人,即C[(n-1)*(m-1),k]
+        // CD:第一列，最后一列没有人,即C[n*(m-2),k]
+        // 中间4个是一样的：4*C[(n-1)*(m-1),k]
+        s2 = (C[(n - 2) * m][k] + 4 * C[(n - 1) * (m - 1)][k] + C[n * (m - 2)][k]) % mod;
+
+        // ABC:第一行、最后一行、第一列没有人，行少了2行，列少了1列，即C[(n-2)*(m-1),k]
+        // ABD:第一行、最后一行、最后一列没有人，行少了2行，列少了1列，即C[(n-2)*(m-1),k]
+        // ABC+ABD=2*C[(n-2)*(m-1),k]
+        // ACD:第一行、第一列、最后一列没有人，行少了1行，列少了2列，即 C[(n-1)*(m-2),k]
+        // BCD:最后一行、第一列、最后一列没有人，行少了1行，列少了2列，即 C[(n-1)*(m-2),k]
+        // ACD+BCD=2*C[(n-1)*(m-2),k]
+        s3 = 2 * (C[(n - 2) * (m - 1)][k] + C[(n - 1) * (m - 2)][k]) % mod;
+
+        // 第一行，第一列，最后一行，最后一列都不能站，那么，剩下n-2行，m-2列，需要在(n-2)*(m-2)这么多的格子里找出k个格子
+        s4 = C[(n - 2) * (m - 2)][k] % mod;
+
+        ans = (S - s1 + s2 - s3 + s4) % mod; // 容斥原理
+        ans = (ans + mod) % mod;             // 防止取余后出现负数
+        printf("Case %d: %d\n", cas++, ans); // 输出答案
     }
     return 0;
 }