diff --git a/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858.md b/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858.md index 7c3ef57..a8e727d 100644 --- a/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858.md +++ b/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858.md @@ -64,10 +64,10 @@ $1≤n≤500,1≤m≤10^5$, $prim$ 算法采用的是一种 **贪心** 的策略,每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。 #### 算法步骤 -1. 把所有距离`dist[N]`初始化为$INF$。 -2. 用一个 `pre` 数组保存节点的是和谁连通的。`pre[i] = k` 表示节点 `i` 和节点 `k` 之间需要有一条边。初始时，`pre` 的各个元素置为 `-1`。 +1. 把所有距离`dis[N]`初始化为$INF$。 +2. 用一个 `pre` 数组保存节点的前驱节点是谁。`pre[i] = k` 表示节点 `i` 和节点 `k` 之间需要有一条边。初始时，`pre` 的各个元素置为 `-1`。 3. 循环$n$次，将所有点准备加入到集合中。 - - 找出不在集合中的(`!st[j]`)距离集合最近的点`dist[j]`，如果是有多个距离一样近，那么选择号小的那个,命名为`t`。 + - 找出不在集合中的(`!st[j]`)距离集合最近的点`dis[j]`，如果是有多个距离一样近，那么选择号小的那个,命名为`t`。 - 累加最小权值 - 利用$t$更新未加入集合中的其它各点到集合的最短距离 - 将$t$加入到集合中 @@ -78,39 +78,39 @@ $prim$ 算法采用的是一种 **贪心** 的策略,每次将离连通部分的 1. 要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下： 用一个 $st$ 数组表示节点是否已经连通。$st[i]$ 为真，表示已经连通，$st[i]$ 为假，表示还没有连通。初始时，$st$ 各个元素为假。即所有点还没有连通。 -用一个 $dist$ 数组保存各个点到连通部分的最短距离，$dist[i]$ 表示 $i$ 节点到连通部分的最短距离。初始时，$dist$ 数组的各个元素为无穷大。 +用一个 $dis$ 数组保存各个点到连通部分的最短距离，$dis[i]$ 表示 $i$ 节点到连通部分的最短距离。初始时，$dis$ 数组的各个元素为无穷大。 用一个 $pre$ 数组保存节点的是和谁连通的。$pre[i] = k$ 表示节点 $i$ 和节点 $k$ 之间需要有一条边。初始时，$pre$ 的各个元素置为 $-1$。 -2. 从 $1$ 号节点开始扩充连通的部分，[之所以从一号结点开始，是因为大家都是距离集合正无穷，那么号小的优先！]，所以 $1$ 号节点与连通部分的最短距离为 $0$，即$dist[i]$ 值为 0。 +2. 从 $1$ 号节点开始扩充连通的部分，【之所以从一号结点开始，是因为大家都是距离集合正无穷，那么号小的优先！】，所以 $1$ 号节点与连通部分的最短距离为 $0$，即$dis[i]$ 值为 0。 -3. 遍历 $dist$ 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 $t$。$t$节点就是下一个应该加入连通部分的节点，$st[t]$ 置为 $true$。 -用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小的是 $dist[1]$，因此 $st[1]$ 置为 $true$。 +3. 遍历 $dis$ 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 $t$。$t$节点就是下一个应该加入连通部分的节点，$st[t]$ 置为 $true$。 +用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小的是 $dis[1]$，因此 $st[1]$ 置为 $true$。 -4.遍历所有与 $t$ 相连但没有加入到连通部分的点 $j$，如果 $j$ 距离连通部分的距离大于 $t \sim j$ 之间的距离，即 $dist[j] > g[t][j]$（$g[t][j]$ 为 $t \sim j$ 节点之间的距离），则更新 $dist[j]$ 为 $g[t][j]$。这时候表示，$j$ 到连通部分的最短方式是和 $t$ 相连，因此，更新$pre[j] = t$。 +4.遍历所有与 $t$ 相连但没有加入到连通部分的点 $j$，如果 $j$ 距离连通部分的距离大于 $t \sim j$ 之间的距离，即 $dis[j] > g[t][j]$（$g[t][j]$ 为 $t \sim j$ 节点之间的距离），则更新 $dis[j]$ 为 $g[t][j]$。这时候表示，$j$ 到连通部分的最短方式是和 $t$ 相连，因此，更新$pre[j] = t$。 -与节点 $1$ 相连的有 $2$， $3$， $4$ 号节点。$1->2$ 的距离为 $100$，小于 $dist[2]$，$dist[2]$ 更新为 $100$，$pre[2]$ 更新为$1$。$1->4$ 的距离为 $140$，小于 $dist[4]$，$dist[4] $更新为 $140$，$pre[4]$ 更新为$1$。$1->3$ 的距离为 $150$，小于 $dist[3]$，$dist[3]$ 更新为 $150$，$pre[3]$ 更新为$1$。 +与节点 $1$ 相连的有 $2$， $3$， $4$ 号节点。$1 \rightarrow 2$ 的距离为 $100$，小于 $dis[2]$，$dis[2]$ 更新为 $100$，$pre[2]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 4$ 的距离为 $140$，小于 $dis[4]$，$dis[4] $更新为 $140$，$pre[4]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 3$ 的距离为 $150$，小于 $dis[3]$，$dis[3]$ 更新为 $150$，$pre[3]$ 更新为$1$。 5. 重复 $3$, $4$步骤，直到所有节点的状态都被置为 $1$. -这里青色点中距离最小的是 $dist[2]$，因此 $st[2]$ 置为 $1$。 +这里青色点中距离最小的是 $dis[2]$，因此 $st[2]$ 置为 $1$。 -与节点 $2$ 相连的有 $5$， $4$号节点。$2->5$ 的距离为 $80$，小于 $dist[5]$，$dist[5]$ 更新为 $80$，$pre[5]$ 更新为 $2$。$2->4$ 的距离为 $80$，小于 $dist[4]$，$dist[4]$ 更新为 $80$，$pre[4]$ 更新为$2$。 +与节点 $2$ 相连的有 $5$， $4$号节点。$2 \rightarrow 5$ 的距离为 $80$，小于 $dis[5]$，$dis[5]$ 更新为 $80$，$pre[5]$ 更新为 $2$。$2 \rightarrow 4$ 的距离为 $80$，小于 $dis[4]$，$dis[4]$ 更新为 $80$，$pre[4]$ 更新为$2$。 -选$dist[4]$，更新$dist[3]$，$dist[5]$，$pre[3]$，$pre[5]$。 +选$dis[4]$，更新$dis[3]$，$dis[5]$，$pre[3]$，$pre[5]$。 -选$dist[5]$，没有可更新的。 +选$dis[5]$，没有可更新的。 -选$dist[3]$，没有可更新的。 +选$dis[3]$，没有可更新的。 -6.此时 $dist$ 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。$pre$ 数组中保存了需要选择的边。 +6.此时 $dis$ 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。$pre$ 数组中保存了需要选择的边。 @@ -119,8 +119,6 @@ $prim$ 算法采用的是一种 **贪心** 的策略,每次将离连通部分的 - 最小生成树并不唯一，但它的边权最小值是唯一的。所以，一般没有要求求出最小生成树长成什么样子，而是要求输出最小生成树的边权最小值。 - 因为$Prim$算法需要反复的求每两个点之间的距离，这就决定了 **邻接矩阵更合适**，因为**相对于邻接表，邻接矩阵可以快速提供两个点之间的距离**，而邻接表是链表，想要获取两个点之间的距离就没那么方便。 - 边数较少可以用$Kruskal$,因为$Kruskal$算法每次查找最短的边。 边数较多可以用$Prim$，因为它是每次加一个顶点，对边数多的适用。 -- 堆优化的$Prim$算法一般不用。 -- 图论的题一般难就难在建图上，考虑算法原理的并不多啊，所以理解并背下来算法模板的思路就非常重要了，主要是用自然语言复述，不要死记硬背模板代码，那样容易忘，也记不住。 ### 四、朴素版$Prim$算法代码 @@ -152,7 +150,7 @@ int prim() { /*2、如果不是第一个点，并且剩余的点距离集合的最小距离是INF，说明现在没有点可以连通到生成树， 这时不是连通图，没有最小生成树，返回INF - 如果是第一个点，因为把它加到集合中去的代码是在下面进行的，此时它也没有被加入到集合中去，所以dist[t]=INF,这时不能说无解 + 如果是第一个点，因为把它加到集合中去的代码是在下面进行的，此时它也没有被加入到集合中去，所以dis[t]=INF,这时不能说无解 因为才刚刚开始，需要特判一下 */ if (i && dis[t] == INF) return INF; diff --git a/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.cpp b/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.cpp index 00649e6..94467d6 100644 --- a/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.cpp +++ b/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.cpp @@ -1,35 +1,42 @@ #include using namespace std; - +const int N = 100010, M = N << 1; const int INF = 0x3f3f3f3f; + int n, m; // n条顶点,m条边 int res; // 最小生成树的权值和 -int cnt; // 组成最小生成树的结点数 +int cnt; // 最小生成树的结点数 + // Kruskal用到的结构体 -const int N = 100010, M = N << 1; struct Node { - int a, b, w; - bool const operator<(const Node &ed) const { - return w < ed.w; + int a, b, c; + bool const operator<(const Node &t) const { + return c < t.c; // 边权小的在前 } -} edge[M]; +} edge[M]; // 数组长度为是边数 + // 并查集 int p[N]; int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } + // Kruskal算法 int kruskal() { + // 1、按边权由小到大排序 sort(edge, edge + m); + // 2、并查集初始化 for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; + // 3、迭代m次 for (int i = 0; i < m; i++) { - int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w; + int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c; a = find(a), b = find(b); if (a != b) - p[a] = b, res += w, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量 + p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量 } + // 4、特判是不是不连通 if (cnt < n - 1) return INF; return res; } diff --git a/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.md b/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.md index 80febfa..84141df 100644 --- a/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.md +++ b/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.md @@ -94,40 +94,47 @@ $A$:之所以使用邻接表或邻接矩阵，其实说白了，是按点存的 **按点存麻烦（邻接表或邻接矩阵），按边存（结构体数组）简单。** -### 三、完整代码 +#### $Code$ ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; - +const int N = 100010, M = N << 1; const int INF = 0x3f3f3f3f; + int n, m; // n条顶点,m条边 int res; // 最小生成树的权值和 -int cnt; // 组成最小生成树的结点数 +int cnt; // 最小生成树的结点数 + // Kruskal用到的结构体 -const int N = 100010, M = N << 1; struct Node { - int a, b, w; - bool const operator<(const Node &ed) const { - return w < ed.w; + int a, b, c; + bool const operator<(const Node &t) const { + return c < t.c; // 边权小的在前 } -} edge[M]; +} edge[M]; // 数组长度为是边数 + // 并查集 int p[N]; int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } + // Kruskal算法 int kruskal() { + // 1、按边权由小到大排序 sort(edge, edge + m); + // 2、并查集初始化 for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; + // 3、迭代m次 for (int i = 0; i < m; i++) { - int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w; + int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c; a = find(a), b = find(b); if (a != b) - p[a] = b, res += w, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量 + p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量 } + // 4、特判是不是不连通 if (cnt < n - 1) return INF; return res; } diff --git a/TangDou/Topic/【最小生成树】专题.md b/TangDou/Topic/【最小生成树】专题.md index 4375281..a85512c 100644 --- a/TangDou/Topic/【最小生成树】专题.md +++ b/TangDou/Topic/【最小生成树】专题.md @@ -2,17 +2,153 @@ $Prim$算法和$Kruskal$算法都是用于 **求解最小生成树的算法**，但它们的使用场景和应用领域存在一些差异。 +### 一、算法概述 + #### $Prim$算法 ① $Prim$算法是一种贪心算法，基于顶点的方式构建最小生成树。 ② $Prim$算法 **适用于稠密图**，即边的数量接近于完全图$(n*(n-1)/2)$的图。 ③ $Prim$算法从一个起始顶点开始逐步扩展，直到生成一个包含所有顶点的最小生成树。 ④ $Prim$算法的时间复杂度为$O(ElogV)$，对于稠密图有较好的性能。 +**[$AcWing$ $858$. $Prim$ 算法求最小生成树](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15330282.html)** + +**$Code$模板** +```cpp {.line-numbers} +#include + +using namespace std; +const int N = 510; +const int INF = 0x3f3f3f3f; + +int n, m; +int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵 +int dis[N]; // 这个点到集合的距离 +bool st[N]; // 是不是已经使用过 +int res; // 最小生成树里面边的长度之和 +int pre[N]; // 前驱结点 + +// 普利姆算法求最小生成树 +int prim() { + for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次 + int t = -1; + for (int j = 1; j <= n; j++) + if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j; + if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树 + if (i) res += dis[t]; + for (int j = 1; j <= n; j++) + if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) { + dis[j] = g[t][j]; + pre[j] = t; // 记录是由谁转移而来 + } + st[t] = true; + } + return res; +} + +int main() { + cin >> n >> m; + memset(g, 0x3f, sizeof g); + memset(dis, 0x3f, sizeof dis); + memset(pre, -1, sizeof pre); // 记录前驱路径 + + // 读入数据 + while (m--) { + int a, b, c; + cin >> a >> b >> c; + g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); + } + int t = prim(); + if (t == INF) + puts("impossible"); + else + cout << t << endl; + + // 输出前驱结点 + for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", pre[i]); + return 0; +} +``` #### $Kruskal$算法 ① $Kruskal$算法是一种基于边的方式构建最小生成树的算法。 ② $Kruskal$算法 **适用于稀疏图**，即边的数量远小于完全图$(n*(n-1)/2)$的图。 ③ $Kruskal$算法按权值递增的顺序选择边，并通过判断是否构成环来决定是否将边加入最小生成树。 ④ $Kruskal$算法的时间复杂度为$O(ElogE)$，对于稀疏图有较好的性能。 -#### 总结 -总体而言，$Prim$算法适用于稠密图，具有更好的时间复杂度，而$Kruskal$算法适用于稀疏图，具有相对较好的性能。在选择使用哪种算法时，可以根据图的特性和规模来进行选择。 +**[$AcWing$ $859$. $Kruskal$ 算法求最小生成树](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15336857.html)** + +**$Code$模板** +```cpp {.line-numbers} +#include + +using namespace std; +const int N = 100010, M = N << 1; +const int INF = 0x3f3f3f3f; + +int n, m; // n条顶点,m条边 +int res; // 最小生成树的权值和 +int cnt; // 最小生成树的结点数 + +// Kruskal用到的结构体 +struct Node { + int a, b, c; + bool const operator<(const Node &t) const { + return c < t.c; // 边权小的在前 + } +} edge[M]; // 数组长度为是边数 + +// 并查集 +int p[N]; +int find(int x) { + if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); + return p[x]; +} + +// Kruskal算法 +int kruskal() { + // 1、按边权由小到大排序 + sort(edge, edge + m); + // 2、并查集初始化 + for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; + // 3、迭代m次 + for (int i = 0; i < m; i++) { + int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c; + a = find(a), b = find(b); + if (a != b) + p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量 + } + // 4、特判是不是不连通 + if (cnt < n - 1) return INF; + return res; +} + +int main() { + cin >> n >> m; + for (int i = 0; i < m; i++) { + int a, b, c; + cin >> a >> b >> c; + edge[i] = {a, b, c}; + } + int t = kruskal(); + if (t == INF) + puts("impossible"); + else + printf("%d\n", t); + return 0; +} +``` + +### 二、最小生成树练习题题单 + + +AcWing 1140. 最短网络 +AcWing 1141. 局域网 +AcWing 1142. 繁忙的都市 +AcWing 1143. 联络员 +AcWing 1144. 连接格点 + + +### 三、最小生成树的扩展应用题单 +AcWing 1146. 新的开始 +AcWing 1145. 北极通讯网络 +AcWing 346. 走廊泼水节 +AcWing 1148. 秘密的牛奶运输 \ No newline at end of file