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34
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858.md
Unescape View File

@ -64,10 +64,10 @@ $1≤n≤500,1≤m≤10^5$,
$prim$ 算法采用的是一种 **贪心** 的策略,每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。
#### 算法步骤
1. 把所有距离`dist[N]`初始化为$INF$。
2. 用一个 `pre` 数组保存节点的是和谁连通的。`pre[i] = k` 表示节点 `i` 和节点 `k` 之间需要有一条边。初始时，`pre` 的各个元素置为 `-1`。
1. 把所有距离`dis[N]`初始化为$INF$。
2. 用一个 `pre` 数组保存节点的前驱节点是谁。`pre[i] = k` 表示节点 `i` 和节点 `k` 之间需要有一条边。初始时，`pre` 的各个元素置为 `-1`。
3. 循环$n$次，将所有点准备加入到集合中。
- 找出不在集合中的(`!st[j]`)距离集合最近的点`dist[j]`，如果是有多个距离一样近，那么选择号小的那个,命名为`t`。
- 找出不在集合中的(`!st[j]`)距离集合最近的点`dis[j]`，如果是有多个距离一样近，那么选择号小的那个,命名为`t`。
- 累加最小权值
- 利用$t$更新未加入集合中的其它各点到集合的最短距离
- 将$t$加入到集合中
@ -78,39 +78,39 @@ $prim$ 算法采用的是一种 **贪心** 的策略,每次将离连通部分的
1. 要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：
用一个 $st$ 数组表示节点是否已经连通。$st[i]$ 为真，表示已经连通，$st[i]$ 为假，表示还没有连通。初始时，$st$ 各个元素为假。即所有点还没有连通。
用一个 $dist$ 数组保存各个点到连通部分的最短距离，$dist[i]$ 表示 $i$ 节点到连通部分的最短距离。初始时，$dist$ 数组的各个元素为无穷大。
用一个 $dis$ 数组保存各个点到连通部分的最短距离，$dis[i]$ 表示 $i$ 节点到连通部分的最短距离。初始时，$dis$ 数组的各个元素为无穷大。
用一个 $pre$ 数组保存节点的是和谁连通的。$pre[i] = k$ 表示节点 $i$ 和节点 $k$ 之间需要有一条边。初始时，$pre$ 的各个元素置为 $-1$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_3e1d300c7c-06.png'>
2. 从 $1$ 号节点开始扩充连通的部分，[之所以从一号结点开始，是因为大家都是距离集合正无穷，那么号小的优先！]，所以 $1$ 号节点与连通部分的最短距离为 $0$，即$dist[i]$ 值为 0。
2. 从 $1$ 号节点开始扩充连通的部分，【之所以从一号结点开始，是因为大家都是距离集合正无穷，那么号小的优先！】，所以 $1$ 号节点与连通部分的最短距离为 $0$，即$dis[i]$ 值为 0。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_86b312a17c-07.png'>
3. 遍历 $dist$ 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 $t$。$t$节点就是下一个应该加入连通部分的节点，$st[t]$ 置为 $true$。
用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小的是 $dist[1]$，因此 $st[1]$ 置为 $true$。
3. 遍历 $dis$ 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 $t$。$t$节点就是下一个应该加入连通部分的节点，$st[t]$ 置为 $true$。
用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小的是 $dis[1]$，因此 $st[1]$ 置为 $true$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_23b31ed37c-08.png'>
4.遍历所有与 $t$ 相连但没有加入到连通部分的点 $j$，如果 $j$ 距离连通部分的距离大于 $t \sim j$ 之间的距离，即 $dist[j] > g[t][j]$（$g[t][j]$ 为 $t \sim j$ 节点之间的距离），则更新 $dist[j]$ 为 $g[t][j]$。这时候表示，$j$ 到连通部分的最短方式是和 $t$ 相连，因此，更新$pre[j] = t$。
4.遍历所有与 $t$ 相连但没有加入到连通部分的点 $j$，如果 $j$ 距离连通部分的距离大于 $t \sim j$ 之间的距离，即 $dis[j] > g[t][j]$（$g[t][j]$ 为 $t \sim j$ 节点之间的距离），则更新 $dis[j]$ 为 $g[t][j]$。这时候表示，$j$ 到连通部分的最短方式是和 $t$ 相连，因此，更新$pre[j] = t$。
与节点 $1$ 相连的有 $2$， $3$， $4$ 号节点。$1->2$ 的距离为 $100$，小于 $dist[2]$，$dist[2]$ 更新为 $100$，$pre[2]$ 更新为$1$。$1->4$ 的距离为 $140$，小于 $dist[4]$，$dist[4] $更新为 $140$，$pre[4]$ 更新为$1$。$1->3$ 的距离为 $150$，小于 $dist[3]$，$dist[3]$ 更新为 $150$，$pre[3]$ 更新为$1$。
与节点 $1$ 相连的有 $2$， $3$， $4$ 号节点。$1 \rightarrow 2$ 的距离为 $100$，小于 $dis[2]$，$dis[2]$ 更新为 $100$，$pre[2]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 4$ 的距离为 $140$，小于 $dis[4]$，$dis[4] $更新为 $140$，$pre[4]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 3$ 的距离为 $150$，小于 $dis[3]$，$dis[3]$ 更新为 $150$，$pre[3]$ 更新为$1$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_370887c27c-09.png'>
5. 重复 $3$, $4$步骤，直到所有节点的状态都被置为 $1$.
这里青色点中距离最小的是 $dist[2]$，因此 $st[2]$ 置为 $1$。
这里青色点中距离最小的是 $dis[2]$，因此 $st[2]$ 置为 $1$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_48eb08287c-10.png'>
与节点 $2$ 相连的有 $5$， $4$号节点。$2->5$ 的距离为 $80$，小于 $dist[5]$，$dist[5]$ 更新为 $80$，$pre[5]$ 更新为 $2$。$2->4$ 的距离为 $80$，小于 $dist[4]$，$dist[4]$ 更新为 $80$，$pre[4]$ 更新为$2$。
与节点 $2$ 相连的有 $5$， $4$号节点。$2 \rightarrow 5$ 的距离为 $80$，小于 $dis[5]$，$dis[5]$ 更新为 $80$，$pre[5]$ 更新为 $2$。$2 \rightarrow 4$ 的距离为 $80$，小于 $dis[4]$，$dis[4]$ 更新为 $80$，$pre[4]$ 更新为$2$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_51ea62357c-11.png'>
选$dist[4]$，更新$dist[3]$，$dist[5]$，$pre[3]$，$pre[5]$。
选$dis[4]$，更新$dis[3]$，$dis[5]$，$pre[3]$，$pre[5]$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_5d199a9e7c-12.png'>
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_616a0f7a7c-13.png'>
选$dist[5]$，没有可更新的。
选$dis[5]$，没有可更新的。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_68115c167c-14.png'>
选$dist[3]$，没有可更新的。
选$dis[3]$，没有可更新的。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_6f7001247c-15.png'>
6.此时 $dist$ 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。$pre$ 数组中保存了需要选择的边。
6.此时 $dis$ 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。$pre$ 数组中保存了需要选择的边。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_740316f47c-16.png'>
@ -119,8 +119,6 @@ $prim$ 算法采用的是一种 **贪心** 的策略,每次将离连通部分的
- 最小生成树并不唯一，但它的边权最小值是唯一的。所以，一般没有要求求出最小生成树长成什么样子，而是要求输出最小生成树的边权最小值。
- 因为$Prim$算法需要反复的求每两个点之间的距离，这就决定了 **邻接矩阵更合适**，因为**相对于邻接表，邻接矩阵可以快速提供两个点之间的距离**，而邻接表是链表，想要获取两个点之间的距离就没那么方便。
- 边数较少可以用$Kruskal$,因为$Kruskal$算法每次查找最短的边。 边数较多可以用$Prim$，因为它是每次加一个顶点，对边数多的适用。
- 堆优化的$Prim$算法一般不用。
- 图论的题一般难就难在建图上，考虑算法原理的并不多啊，所以理解并背下来算法模板的思路就非常重要了，主要是用自然语言复述，不要死记硬背模板代码，那样容易忘，也记不住。
### 四、朴素版$Prim$算法代码
@ -152,7 +150,7 @@ int prim() {
/*2、如果不是第一个点，并且剩余的点距离集合的最小距离是INF，说明现在没有点可以连通到生成树，
这时不是连通图，没有最小生成树，返回INF
如果是第一个点，因为把它加到集合中去的代码是在下面进行的，此时它也没有被加入到集合中去，所以dist[t]=INF,这时不能说无解
如果是第一个点，因为把它加到集合中去的代码是在下面进行的，此时它也没有被加入到集合中去，所以dis[t]=INF,这时不能说无解
因为才刚刚开始，需要特判一下
*/
if (i && dis[t] == INF) return INF;

25
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.cpp
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@ -1,35 +1,42 @@
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n条顶点,m条边
int res; // 最小生成树的权值和
int cnt; // 组成最小生成树的结点数
int cnt; // 最小生成树的结点数
// Kruskal用到的结构体
const int N = 100010, M = N << 1;
struct Node {
int a, b, w;
bool const operator<(const Node &ed) const {
return w < ed.w;
int a, b, c;
bool const operator<(const Node &t) const {
return c < t.c; // 边权小的在前
}
} edge[M];
} edge[M]; // 数组长度为是边数
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// Kruskal算法
int kruskal() {
// 1、按边权由小到大排序
sort(edge, edge + m);
// 2、并查集初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// 3、迭代m次
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w;
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b)
p[a] = b, res += w, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
}
// 4、特判是不是不连通
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}

27
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.md
Unescape View File

@ -94,40 +94,47 @@ $A$:之所以使用邻接表或邻接矩阵，其实说白了，是按点存的
**按点存麻烦（邻接表或邻接矩阵），按边存（结构体数组）简单。**
### 三、完整代码
#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n条顶点,m条边
int res; // 最小生成树的权值和
int cnt; // 组成最小生成树的结点数
int cnt; // 最小生成树的结点数
// Kruskal用到的结构体
const int N = 100010, M = N << 1;
struct Node {
int a, b, w;
bool const operator<(const Node &ed) const {
return w < ed.w;
int a, b, c;
bool const operator<(const Node &t) const {
return c < t.c; // 边权小的在前
}
} edge[M];
} edge[M]; // 数组长度为是边数
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// Kruskal算法
int kruskal() {
// 1、按边权由小到大排序
sort(edge, edge + m);
// 2、并查集初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// 3、迭代m次
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, w = edge[i].w;
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b)
p[a] = b, res += w, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
}
// 4、特判是不是不连通
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}

140
TangDou/Topic/【最小生成树】专题.md
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@ -2,17 +2,153 @@
$Prim$算法和$Kruskal$算法都是用于 **求解最小生成树的算法**，但它们的使用场景和应用领域存在一些差异。
### 一、算法概述
#### $Prim$算法
① $Prim$算法是一种贪心算法，基于顶点的方式构建最小生成树。
② $Prim$算法 **适用于稠密图**，即边的数量接近于完全图$(n*(n-1)/2)$的图。
③ $Prim$算法从一个起始顶点开始逐步扩展，直到生成一个包含所有顶点的最小生成树。
④ $Prim$算法的时间复杂度为$O(ElogV)$，对于稠密图有较好的性能。
**[$AcWing$ $858$. $Prim$ 算法求最小生成树](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15330282.html)**
**$Code$模板**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N]; // 这个点到集合的距离
bool st[N]; // 是不是已经使用过
int res; // 最小生成树里面边的长度之和
int pre[N]; // 前驱结点
// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树
if (i) res += dis[t];
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) {
dis[j] = g[t][j];
pre[j] = t; // 记录是由谁转移而来
}
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
memset(pre, -1, sizeof pre); // 记录前驱路径
// 读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if (t == INF)
puts("impossible");
else
cout << t << endl;
// 输出前驱结点
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", pre[i]);
return 0;
}
```
#### $Kruskal$算法
① $Kruskal$算法是一种基于边的方式构建最小生成树的算法。
② $Kruskal$算法 **适用于稀疏图**，即边的数量远小于完全图$(n*(n-1)/2)$的图。
③ $Kruskal$算法按权值递增的顺序选择边，并通过判断是否构成环来决定是否将边加入最小生成树。
④ $Kruskal$算法的时间复杂度为$O(ElogE)$，对于稀疏图有较好的性能。
#### 总结
总体而言，$Prim$算法适用于稠密图，具有更好的时间复杂度，而$Kruskal$算法适用于稀疏图，具有相对较好的性能。在选择使用哪种算法时，可以根据图的特性和规模来进行选择。
**[$AcWing$ $859$. $Kruskal$ 算法求最小生成树](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15336857.html)**
**$Code$模板**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n条顶点,m条边
int res; // 最小生成树的权值和
int cnt; // 最小生成树的结点数
// Kruskal用到的结构体
struct Node {
int a, b, c;
bool const operator<(const Node &t) const {
return c < t.c; // 边权小的在前
}
} edge[M]; // 数组长度为是边数
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// Kruskal算法
int kruskal() {
// 1、按边权由小到大排序
sort(edge, edge + m);
// 2、并查集初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// 3、迭代m次
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b)
p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
}
// 4、特判是不是不连通
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
edge[i] = {a, b, c};
}
int t = kruskal();
if (t == INF)
puts("impossible");
else
printf("%d\n", t);
return 0;
}
```
### 二、最小生成树练习题题单
AcWing 1140. 最短网络
AcWing 1141. 局域网
AcWing 1142. 繁忙的都市
AcWing 1143. 联络员
AcWing 1144. 连接格点
### 三、最小生成树的扩展应用题单
AcWing 1146. 新的开始
AcWing 1145. 北极通讯网络
AcWing 346. 走廊泼水节
AcWing 1148. 秘密的牛奶运输
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