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TangDou/AcWing_TiGao/T1/NumberTriangles/数字三角形专题.md

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+## 数字三角形 【干货、背诵版】
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+#### 基础题
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+**[$AcWing$ $1015$. 摘花生](https://www.acwing.com/problem/content/1017/)**
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+二维状态表示，双重循环填充二维表，从上或右可以转移
+```cpp {.line-numbers}
+  for (int i = 1; i <= n; i++)
+            for (int j = 1; j <= m; j++)
+                // 递推的出发点，采用特判的办法手动维护，其它的靠关系式递推完成
+                // 之所以这样对起点进行初始化，是因为只有这样才能保障逻辑自洽
+                if (i == 1 && j == 1)
+                    f[i][j] = w[i][j];
+                else
+                    f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + w[i][j];
+
+```
+初始值
+```cpp {.line-numbers}
+ f[1][1] = w[1][1]; //出发点
+```
+① **状态表示**
+$f[i][j]$代表走到第$(i,j)$个位置时可以获取到的最大数量和
+
+② **状态转移**
+即$f[i][j]$可以从哪些状态转移而来
+
+③ **初始值**
+思考起点下状态表示的现实含义即可
+
+**总结**
+①  动态规划需要按上面的三步走，而最难的是状态表示，状态转移还好，根据题意可以推出相应的转换关系。状态表示一般是通过 **经验**，对，是 **经验**。
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+② 初始值：不一定非得放在循环外进行初始化，也可以合并在循环内，有时放在循环内初始化反而更方便更直接。
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+③ 可以使用一维表示，但我个人理解不如二维的直观，最起码思路应该是先有两维再缩成一维，而不是上来就直接一维。一般的题目不会对内存有严格的限制，能用二维还是二维吧，实在卡内存再考虑降为一维。
+
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+**[$AcWing$ $1018$. 最低通行费](https://www.acwing.com/problem/content/1020/)**
+与上一题基本一样，只不过是变换了下，需要你用思维转一下：$2n-1$次，就是说只能向下或向右，否则次数就不达标了。还有一点，就是需要求最小值，而不是最大值，其它的没区别
+```cpp {.line-numbers}
+//初始化为最大值
+memset(f, 0x3f, sizeof f);
+
+for (int i = 1; i <= n; i++)
+    for (int j = 1; j <= n; j++) {
+        if (i == 1 && j == 1)
+            f[i][j] = w[i][j]; //特事特办，不用追求完美的一体化表现，合理特判，逻辑简单
+        else
+            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + w[i][j];
+    }
+```
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+#### 进阶题
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+**[$AcWing$ $1027$. 方格取数](https://www.acwing.com/problem/content/1029/)**
+走两次，其实是故意让我们真的走两回，每次取最优。
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+很明显，这是坑。因为如果每次走时不考虑别人，只考虑自己，就是局部最优，不是全局最优，这样就是贪心，不是动态规划。
+
+解决办法就是把两次一起考虑，转化为有两个小人一起走，步调一致，此时两个相亲相爱，互相照顾，白头偕老，皆大欢喜：
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+状态表示也就呼之欲出：
+$f[x_1][y_1][x_2][y_2]$表示第1个人走到$(x_1,y_1)$,第2个人走到$(x_2,y_2)$,但需要保证$x_1+y_1=x_2+y_2$
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+**状态转移**：
+① 如果两个人走到同一个位置，就可能加上一次这个位置上的数
+② 如果两个人走到不同的位置，就可以加上两个地方上的数
+③ 两个坐标共同决定了现在的状态，换句话说，状态和上面的两个坐标都是相关的
+
+
+```cpp {.line-numbers}
+ //开始递推
+for (int x1 = 1; x1 <= n; x1++)
+    for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++)
+        for (int x2 = 1; x2 <= n; x2++)
+            for (int y2 = 1; y2 <= n; y2++) {
+                if (x1 + y1 == x2 + y2) {
+                    int t = f[x1 - 1][y1][x2 - 1][y2];     //下下
+                    t = max(t, f[x1][y1 - 1][x2][y2 - 1]); //右右
+                    t = max(t, f[x1 - 1][y1][x2][y2 - 1]); //下右
+                    t = max(t, f[x1][y1 - 1][x2 - 1][y2]); //右下
+                    //加上这个点的数值
+                    f[x1][y1][x2][y2] = t + w[x1][y1];
+                    //如果这个点没有被重复走，那么再加一次w(x2,y2)
+                    if (x1 != x2 && y1 != y2) f[x1][y1][x2][y2] += w[x2][y2];
+                }
+            }
+```
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+**[$AcWing$ $275$. 传纸条](https://www.acwing.com/problem/content/277/)**
+与上面的题目是一个题。