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TangDou/Topic/Mobius/P4318.cpp

@@ -0,0 +1,42 @@
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+int t, k, z[100005], p[100005], mu[100005];
+long long check(long long g) {
+    long long res = 0;
+    for (int i = 1; i * i <= g; i++)
+        res = res + mu[i] * (g / i / i);
+
+    return res;
+}
+int main() {
+    mu[1] = 1;
+    for (int i = 2; i <= 100000; i++) {
+        if (!z[i]) {
+            p[++p[0]] = i;
+            mu[i] = -1;
+        }
+        for (int j = 1; j <= p[0] && i * p[j] <= 100000; j++) {
+            z[i * p[j]] = 1;
+            if (i % p[j] == 0) {
+                mu[i * p[j]] = 0;
+                break;
+            }
+            mu[i * p[j]] = -mu[i];
+        }
+    }
+    cin >> t;
+    while (t--) {
+        cin >> k;
+        long long l = 1, r = 2e9, mid, vt;
+        while (l <= r) {
+            mid = (l + r) / 2;
+            vt = check(mid);
+            if (vt < k)
+                l = mid + 1;
+            else
+                r = mid - 1;
+        }
+        cout << r + 1 << endl;
+    }
+    return 0;
+}

TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md

@@ -88,6 +88,8 @@ void get_mobius(int n) {
 **题意**
 在数论中，如果一个整数不能被任何一个整数（这个整数不是$1$）的平方整除，我们就称它是一个$Square−freeinteger$（**无平方数因数的数**）。你得数一数!
 
+求出$1 \sim n$ 中无平方因子数的个数。
+
 **题解**
 
 先来求一下 **平方数因数** 的数有多少个：
@@ -202,12 +204,8 @@ signed main() {
 然而现在小$W$却记不起送给小$X$的是哪个数了。你能帮他一下吗？
 
 **解法**
-
-我们要求这个,就想到把$1$到$k_i$的所有完全平方数和他的倍数筛去,但是一看数据,$1e9$,线性筛必定$T$,那再去想办法进行计算,我们先把$2$的平方$4$的倍数计算出来,在$1$到$k_i$中,有$k_i/4$个$4$的倍数,我们再计算的$16$的倍数个数时候,会发现在计算$4$的倍数个数时候已经把$16$的倍数个数计算过了,这里就重复了,而假设已经计算了$4$和$9$的倍数个数,再去计算$36$的倍数个数就会发现计算了两次,那么就要减去$36$的倍数个数,这里就已经想到可以用 **容斥** 了.这里我们发现这里 **需要枚举质数的平方的次数** ,且奇数偶数符号不相同,就会想到 **莫比乌斯函数**.它计算枚举的边界是$i*i<=n$;我们再用$n$减去计算的出来的从$2$开始的到$k_i$的完全平方数的个数即为所求:
-
-![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312151714471.png)
-
-当求出来之后,我们就可以用二分来求此时的值:
+设$f(n)$表示在$1$到$n$中小$X$不讨厌的数的数量。显然$f(n)$是 **单调递增** 的，所以我们可以二分答案。
+> **注**: 与上一题的区别在于上一题明确给出了最大值$n$,也就是右边界的范围，本题没有告诉我们范围，需要我们自己找到右边界。随着右边界越来越大，肯定符合条件的数字个数也会越来越多，也就是上面说到的单调性。我们可以用二分来假设一个右边界，然后不断的收缩区间来找到准备的右边界:在上道题的基础上加上二分，判断$1$到$mid$是否有$K$个无平方因子的数，以此改变左右边界即可。
 
 ```cpp {.line-numbers}
 #include<iostream>