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黄海 1 year ago
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91
TangDou/AcWing/BeiBao/6.md
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@ -40,7 +40,7 @@ $0<v_i,w_i,s_i≤20000$
10
```
### 二、三种解法
### 二、三种解法如何选择
三种解法的根本区别在于数据范围，题面都是一样的：
<!-- 让表格居中显示的风格 -->
@ -60,8 +60,7 @@ $0<v_i,w_i,s_i≤20000$
| $n≤100$,$V≤100$ | $n≤1000$,$V≤2000$ | $n≤1000$,$V≤20000$ |
</div>
> **温馨提示**：~~其实啊，三种都需要熟练背下来，谁知道考试时出题人会从哪个版本出发搞你~~
### 三、单调队列优化
@ -99,7 +98,25 @@ int main() {
```
<center><img src='https://img2022.cnblogs.com/blog/8562/202201/8562-20220126104409857-886115013.png'></center>
#### 原理解析
多重背包:物品个数是复数个，但又不是无限个。
- 当作$01$背包来理解，$s$个物品当成$s$次$01$背包操作。然后优化的话通过 **二进制** 来优化。
- 当作完全背包来理解，就是有数量限制的完全背包，而这个数量限制就可以理解成 **滑动窗口的长度**,然后优化通过 **单调队列** 来优化。
队列的单调性就是基于
$$f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w,.....,f[i - 1][j - k * v] + k * w$$
要将前$i - 1$个物品的方案基础上不停尝试放入第$i$个物品，遍历取最大值。
$f[i - 1][j - k*v] + k *w$表示，总空间是$j$，有且仅有$k$个物品$i$，其余空间通过前$i - 1$个物品填充的最大价值。
多重背包因为有数量限制，向前遍历的个数$k$是受到数量$s$限制的。
所以要将$max$中的每个元素$f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w,.....,f[i - 1][j - k * v] + k * w$，通过维护单调队列，来获得当前窗口宽度$s$范围内的最大值。
并且在$j = j + v$后，队列中所有元素对应状态与当前背包空间差增加了$v$，可以多放一个物品$i$，每个元素对应的价值增加$w$，全部都加一个$w$，所以单调性不发生任何变化。
两种优化可以理解成两种思路的进化路线。
#### 二维版本
```cpp {.line-numbers}
@ -112,34 +129,37 @@ const int M = 20010; // 背包容量上限
int n, m;
int f[N][M]; // 前i个物品，在容量为j的限定下，最大的价值总和
int q[M]; // 单调优化的队列
int q[M]; // 单调优化的队列,M是背包容量上限，说明q[]里面保存的是体积
// 二维朴素版+队列[k-s*v,k],队列长s+1
// 二维+队列[k-s*v,k],队列长s+1
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举每个物品
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 考虑前i种物品
int v, w, s; // 体积、价值、个数
cin >> v >> w >> s;
for (int j = 0; j < v; j++) { // 按余数分组,组内向前依赖
// 查找指定范围内的最大值，标准的单调队列
int hh = 0, tt = -1;
for (int k = j; k <= m; k += v) { // 分组内枚举每个可能的体积
// 1、超出窗口范围的队头出队列，左侧只保留到k-s*v
// 下面的j,k是一起用来描述剩余体积的,之所以划分成两层循环，是因为依赖的前序是按v为间隔的依赖，并且，是有个数限制的依赖
// j:按对体积取模分组：0表示剩余空间除以当前物品的体积余数是0
// k:分组内的每一个体积,注意：这里的体积不一定都是合法的，因为数量是有限制的
// 单调队列的意义：查找前面k-s*v范围内的价值的最大值，是一个单调递减的队列，队头保存的是获取到最大值的最近体积
for (int j = 0; j < v; j++) { // 按余数分组讨论
int hh = 0, tt = -1; // 全新的单调下降队列
for (int k = j; k <= m; k += v) { // 与j一起构成了有效体积
// 1、讨论到第i个物品时，由于它最多只有s个，所以有效的转移体积最小是k-s*v,更小的体积将被去除
if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh++;
// 2、处理队尾,下一个需要进入队列的是f[i-1][k]，它是后来的，生命周期长，可以干死前面能力不如它的所有老头子,以保证一个单调递减的队列
while (hh <= tt && f[i - 1][q[tt]] + (k - q[tt]) / v * w <= f[i - 1][k]) tt--;
// 3、k入队列
q[++tt] = k;
// 4、上面操作完，f[i-1][k]已经进入队列,f[i][k]需要的所有人员到齐，可以直接从队头取出区间最大值更新自己了
// 4、队列维护完毕，f[i-1][k]已经进入队列,f[i][k]可以直接从队头取出区间最大值更新自己
f[i][k] = f[i - 1][q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w;
}
}
}
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}
```
@ -177,28 +197,9 @@ int main() {
}
```
### 七、疑问解答　
#### $Q_1$:原理解析
多重背包:物品个数是复数个，但又不是无限个。
- 当作$01$背包来理解，$s$个物品当成$s$次$01$背包操作。然后优化的话通过 **二进制** 来优化。
- 当作完全背包来理解，就是有数量限制的完全背包，而这个数量限制就可以理解成 **滑动窗口的长度**,然后优化通过 **单调队列** 来优化。
队列的单调性就是基于
$$f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w,.....,f[i - 1][j - k * v] + k * w$$
要将前$i - 1$个物品的方案基础上不停尝试放入第$i$个物品，遍历取最大值。
$f[i - 1][j - k*v] + k *w$表示，总空间是$j$，有且仅有$k$个物品$i$，其余空间通过前$i - 1$个物品填充的最大价值。
多重背包因为有数量限制，向前遍历的个数$k$是受到数量$s$限制的。
所以要将$max$中的每个元素$f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w,.....,f[i - 1][j - k * v] + k * w$，通过维护单调队列，来获得当前窗口宽度$s$范围内的最大值。
并且在$j = j + v$后，队列中所有元素对应状态与当前背包空间差增加了$v$，可以多放一个物品$i$，每个元素对应的价值增加$w$，全部都加一个$w$，所以单调性不发生任何变化。
### 七、疑问与解答　
两种优化可以理解成两种思路的进化路线。
#### $Q_2$:单调队列中装的是什么？
#### $Q_1$:单调队列中装的是什么？
$A$:是体积，是$f[i][j]$可以从哪些 **体积** 转移而来。比如当前$i$物品的体积是$v_i=2$,个数是$3$，那么$f[i][j]$可以从
$$
\large \left\{\begin{array}{l}
@ -208,19 +209,21 @@ $$
f[i-1][j-v_i*3]+3*w_i& 选择3个
\end{array}\right.
$$
转移而来，当然，还需要判断一下是不是你的背包能装下那么多，一旦装不下了就别硬装了。
转移而来，也就是$(j-v_i*0,j-v_i*1,j-v_i*2,j-v_i*3)$这四个中的一个。
当然，还需要判断一下是不是你的背包能装下那么多，一旦装不下了就别硬装了。
#### $Q_3$:只记录体积怎么计算最大价值？
$A$:只记录了所关联的体积，最大价值是现用现算的，办法是
#### $Q_2$:只记录体积怎么计算最大价值？
$A$:只记录了所关联的体积，最大价值是现算:
$$\large f[i][k] = f[i - 1][q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w$$
即，自己的最优解，可以通过前序当中**最大值**所在的体积`q[hh]`转移而来，产生的增量价值就是 $\large \displaystyle (k - q[hh]) / v * w$
即，自己的最优解，可以通过前序当中 **最大值** 所在的体积`q[hh]`转移而来，增量价值是 $\large \displaystyle (k - q[hh]) / v * w$
#### $Q4$:单调队列的使用场景在哪里？
$A$:使用单调队列的唯一场景就是 **离我在$X$的范围内，最大或最小值是多少**?
#### $Q_3$:单调队列的使用场景在哪里？
$A$:使用单调队列的 **唯一场景** 就是 **离我在$S$的范围内，最大或最小值是多少**?
它的任务是做到$O(1)$的时间复杂度进行快速查询结果，所以，只能是放在队首，不能再进行遍历或者二分，那样就不是$O(1)$了。
#### $Q5$:单调队列是怎么样做到将最优解放到队首的呢？
#### $Q_4$:单调队列是怎么样做到将最优解放到队首的呢？
$A:$单调队列优化有三步曲，按套路做就可以完成这样的任务：
* 将已经超过 **窗口范围** 的旧数据从单调队列中去掉，保证窗口中只有最近的、最多$s$个(或$s+1$,这和具体的题意有关，后续会继续说明~)有效数据。
@ -229,13 +232,13 @@ $A:$单调队列优化有三步曲，按套路做就可以完成这样的任务
* <font color='red' size=4><b>滑动窗口是建立在前序数组$f[i-1]$上的，范围只能是前面一行$f[i-1][j],f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v],...,f[i-1][j-kv]$</b></font>
#### $Q6:$此处的单调队列，是递增还是递减的？
#### $Q_5:$此处的单调队列，是递增还是递减的？
$A:$是一个单调递减的队列,队列头存储的是窗口中的最大值所对应的体积。
#### $Q7$:为什么要先进队列，再更新答案呢？我看有些同学是先更新答案，再进队列啊？
#### $Q_6$:为什么要先进队列，再更新答案呢？我看有些同学是先更新答案，再进队列啊？
$A$:这个主要看$f[i-1][k]$是不是可以成为答案的备选项，如果是，那么就先进队列，再更新；如果不是，则先更新再进队列。以本题为例，$f[i][k]$可不可以从$f[i-1][k]$迁移而来呢？从实际含义出发，是可以的，这表示：第$i$个物品一个也不要，在空间最大是$k$的情况下，最大值如何表示？此时，当然最大值表示为$f[i-1][k]$了，即可以成为答案的备选项，需要先进队列再更新答案。
#### $Q8$:`if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh++;`
#### $Q_7$:`if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh++;`
不是应该是$0$~$s$个物品$i$吗，不应该是$(k-q[hh])/v>s+1$个项吗？
**答**：好问题！确实是$0$~$s$共$s+1$个，按理说单调队列长度最长应该是$s+1$,这里为什么只有$s$个长度呢？

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