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@ -330,135 +330,95 @@ int main() {
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```
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**$O(N^3)$算法**【选读】
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该题算是$P1115$ 最大子段和的一个升级版，其实思想差不多，都是$DP$，只不过该题需要先进行一个 **矩阵压缩** ， 即二维变一维。
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> **引子**
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给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
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第一行是一个正整数$N$，表示了序列的长度。($N<=200000$)
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**矩阵压缩**
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这是 $P1115$ 最大子段和 的描述，也就是本题的一维版本。
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假设有一个矩阵：
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```cpp {.line-numbers}
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-5 6 4
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1 -2 6
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2 1 -3
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```
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如何对它进行压缩呢，其实不难，类比一下：如果我们把一行看做一个数，这里看做三个数$a,b,c$,那么将这三个相邻数的进行不同的组合，将这个新的组合视为一个新的数，这就是进行压缩处理，例如$a,b,c$可以组合为
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$\{[a],[ab],[abc],[b],[bc],[c]\}$，而矩阵压缩也类似。
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> $DP$方程：`dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])` $a[i]$表示这个数列的第$i$项。
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先设置一个变量$mx$用于保存 **压缩后的一维数组的最大子序列和**。
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那么我们如何来处理这一题呢？
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- **① 第一次我们取第一行**
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```cpp {.line-numbers}
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-5 6 4
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```
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则其最大子序列和为$10$，$mx=10$。
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我们可以考虑将矩形压缩成一维，比如处理一个$2$行的矩形时，将$a [i][j]$与$a[i-1][j]$相加，成为一个新的数组$f[n]$，再使用上述代码进行动态规划，找出局部最优解。
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- **② 第二次取第一二行**
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```cpp {.line-numbers}
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-5 6 4
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1 -2 6
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```
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注意现在开始是矩阵压缩的 **精髓**，我们将每一列的数进行相加，将多行变为一行。
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第一列：$-5+1=-4$
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第二列：$6+(-2)=4$
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第三列：$4+6=10$
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那如何来快速将矩形折叠呢？
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所以压缩后的一维数组为：
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```cpp {.line-numbers}
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-4 4 10
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```
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则其最大子序列和为$14$，$mx=14$。
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我们可以选择 **前缀和**
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简单来说，就是在输入的时候，再次加上$a[i-1][j]$，这样可以用减法来快速表示压缩的矩形。
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- **③ 第三次取第一二三行**
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具体代码如下：
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```cpp {.line-numbers}
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-5 6 4
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1 -2 6
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2 1 -3
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cin >> n;
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for(int i=1;i<=n;++i)
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for(int j=1;j<=n;++j){
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cin >> a[i][j];
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a[i][j]+=a[i-1][j];//根据前缀和定义处理
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}
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```
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对每一列进行压缩：
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第一列：$-5+1+2=-2$
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第二列：$6+(-2)+1=5$
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第三列：$4+6+(-3)=7$
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所以压缩后的一维数组为：
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用样例来表示，输入的是：
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```cpp {.line-numbers}
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-2 5 7
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0 -2 -7 0
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9 2 -6 2
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-4 1 -4 1
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-1 8 0 -2
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```
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则其最大子序列和为$12$，$mx=14$。
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**- ④ 第四次取第二行：**
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在经过前缀和处理之后，输出的是这个：
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```cpp {.line-numbers}
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1 -2 6
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0 -2 -7 0
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9 0 -13 2
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5 1 -17 3
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4 9 -17 1
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```
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则其最大子序列和为$6$，$mx=14$。
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可以模拟一下，$a[i][j] - a[i-k][j]$正好是以$i$为最下面一行，往上$k$行的压缩结果，这就很方便地表示了压缩后的矩形。
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**- ⑤ 第五次取第二三行：**
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```cpp {.line-numbers}
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1 -2 6
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2 1 -3
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```
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**那又怎么循环找出各行为最下一行，不同行数的矩阵最大值呢？**
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我用$i$表示以$i$为最下一行，$k$表示向上$k$行，代码如下:
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对每一列进行压缩：
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第一列：$1+2=3$
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第二列：$-2+1=-1$
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第三列：$6+(-3)=3$
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所以压缩后的一维数组为：
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```cpp {.line-numbers}
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3 -1 3
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```
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for(i=1;i<=n;i++){
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for(k=1;k<=i;k++){
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则其最大子序列和为$5$，$mx=14$。
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**- ⑥ 第六次取第三行：**
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```cpp {.line-numbers}
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2 1 -3
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}
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}
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```
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$k<=i$，保证了$i-k>=0$。
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则其最大子序列和为$3$，$mx=14$。
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最后求得这个矩阵最大的子矩阵和为$14$
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也就是第一二行的三四列
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```cpp {.line-numbers}
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6 4
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-2 6
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```
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那再次循环，运用第一个代码的简单变形，可以求出以$i$为最下一行，向上$k$行的矩形最大值，多次更新$ans$，愉快$AC$。
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**$Code$**
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 150;
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int a[N][N];
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const int N = 330;
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int n;
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int a[N][N], s[N][N], dp[N];
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int res = INT_MIN;
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int dp[N]; // f[j]表示压缩的矩形第j列的值
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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// 前缀和(竖直方向)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++) {
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cin >> a[i][j];
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s[i][j] = s[i - 1][j] + a[i][j]; // 一维前缀和，这可不是二维前缀和
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a[i][j] += a[i - 1][j]; // 按列计算前缀和
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}
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// 降维变成一维dp
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for (int i = 0; i <= n - 1; i++) // 枚举左上角
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) // 枚举右下角
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for (int k = 1; k <= n; k++) { // 枚举每一列
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dp[k] = max(s[j][k] - s[i][k], dp[k - 1] + s[j][k] - s[i][k]);
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res = max(res, dp[k]);
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int ans = INT_MIN; // 预求最大，先设最小
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for (int i = 1; i <= n; i++) // 最底下一行
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for (int k = 1; k <= i; k++) { // 往上k行
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memset(dp, 0, sizeof dp);
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for (int j = 1; j <= n; j++) { // 第j列
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int s = a[i][j] - a[i - k][j]; // 求压缩的矩形第j列的值
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dp[j] = max(dp[j - 1] + s, s); // 动态规划
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ans = max(ans, dp[j]); // 更新答案
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}
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// 输出
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cout << res << endl;
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}
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cout << ans << endl; // 愉快AC
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return 0;
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}
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```
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#### [$P2004$ 领地选择](https://www.luogu.com.cn/problem/P2004)
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