From 6b3ea6568a924a5931e7e268eda02c3b3f40061e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=BB=84=E6=B5=B7?= <10402852@qq.com> Date: Tue, 16 Jan 2024 09:53:28 +0800 Subject: [PATCH] 'commit' --- TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_1.drawio | 1 + TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_2.drawio | 1 + TangDou/Topic/【换根】dfs专题.md | 217 +++++++++++++++++++---- 3 files changed, 182 insertions(+), 37 deletions(-) create mode 100644 TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_1.drawio create mode 100644 TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_2.drawio diff --git a/TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_1.drawio b/TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_1.drawio new file mode 100644 index 0000000..1808845 --- /dev/null +++ b/TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_1.drawio @@ -0,0 +1 @@ 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 \ No newline at end of file diff --git a/TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_2.drawio b/TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_2.drawio new file mode 100644 index 0000000..21784d6 --- /dev/null +++ b/TangDou/Topic/HuanGenDp/CF1187E_2.drawio @@ -0,0 +1 @@ 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 \ No newline at end of file diff --git a/TangDou/Topic/【换根】dfs专题.md b/TangDou/Topic/【换根】dfs专题.md index 0e4ea2b..ebfb313 100644 --- a/TangDou/Topic/【换根】dfs专题.md +++ b/TangDou/Topic/【换根】dfs专题.md @@ -318,43 +318,6 @@ int main() { } ``` -#### [$CF1187E$ $Tree$ $Painting$](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1187E) -**题意** -给定一棵 $n$ 个点的树,初始全是白点 - -要求你做 $n$ 步操作，每一次选定一个与一个黑点相隔一条边的白点，将它染成黑点，然后获得该白点被染色前所在的白色联通块大小的权值。 - -第一次操作可以任意选点。 - -求可获得的最大权值。 - -**题解** -分析一下题目性质，发现一旦选定初始点，不管我们之后扩展的顺序是怎样的，得到的权值都不会变（这个性质画画图很容易就可以发现）。 - -现在问题又转变成选择一个初始点，最大化从它扩展到全树所得的价值，**经典二次扫描换根问题**。 - -考虑每个结点，假设要扩展这个结点，可以得到多少权值，设这个值为 \(sum[x]\)，另外，设以 \(x\) 为根的子树大小为 \(siz[x]\) 。 - -那么很简单的，可以得到转移方程： - -\[sum[x]=\sum_{y\in Son(x)}siz[y]+siz[x] \] -我们利用这个方程，求出任意一个结点为根时的 \(sum\) 值，然后进行换根，假设现在求出了 \(sum[1]\) 。 - -请看下图 - -![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401151554158.png) - -假设我们现在把根从 1 换到 4 ，然后扩展，那么我们多得到的权值就是 {1,2,3,5,6} 这个连通块的价值，但是同样我们失去了 {4,9,7,8} 这个连通块的价值。 - -因为我们是 dfs 进行转移，于是我们可以从父亲到儿子推出转移方程： - -\[sum[y]=sum[x]-sum[y]+n-sum[y],y\in Son(x) \] -也就是说，我们从父亲转移到儿子的时候，得到了这个儿子子树大小的价值，损失了非该儿子子树的价值。 ------------------------------------ -二次扫描与换根法 - - - #### [$P2986$ 伟大的奶牛聚集](https://www.luogu.com.cn/problem/P2986) **题目描述** @@ -436,6 +399,186 @@ signed main() { ``` +#### [$CF1187E$ $Tree$ $Painting$](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1187E) + +https://www.luogu.com.cn/blog/defKaeru/solution-cf1187e + +**题意** +给定一棵有 $n$ 个结点的无根树，所有结点都是白色的。 + +第一次操作可以 随意 使一个结点染成黑色，之后每次操作可以使一个与黑色结点相邻的白色结点变成黑色。 + +**每次操作可以获得的权值为**: 被染成黑色的白色结点所在的白色连通块的结点数量。 + +求可以获得的最大权值。 + +**难点解析** + +最初时，我对这个**权值** 的认识不够深入，没有明白为什么根不同权值就会不同呢？后来仔细思考，发现是自己傻了，因为根不同，每个节点到根的距离就会不同，而权值的计算办法，其实是类似于哈夫曼树，父子隶属关系的不同最终的权值是不一样的，我们可以再画一下上面的图进行深入理解： + +![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401160950270.png) + + +![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401160947763.png) + + +**总结**：这个理解能力，目前看来有两种办法： +- ① 多动手画图理解，尝试换根试一下。 +- ② 多做题，做的多了就一下明白它说什么了。 + + +**题解** +不难发现只要选定了第一个被染色的结点，答案也就确定了, 也就是 选了谁是根最重要，其它的选择顺序不重要。 + +所以有一个朴素做法就是以枚举每个结点为根，都做一次树形$dp$。 + +以某一结点为根，记 $f_i$ 表示以 $i$ 为根的子树中，首先把 $i$ 染成黑色的答案。 + +方程就是 +$\displaystyle \large f[u]=sz[u]+\sum_{v \in son[u]} f[v]$​ + +其中 +$sz[u]$ 表示以 $u$ 为根的子树大小，也就是染色时的白色连通块大小。 + +**时间复杂度** +$O(n^2)$ ，稳稳地暴毙,然后就会自然而然地想到换根$dp$。 + + + +**换根$dp$** + +先考虑以任意一点为根，不妨记为 $1$ ，求出 $f$ 数组。 + +然后记 $g[i]$ 表示以 $i$ 结点为根时的答案,尝试通过$1$号节点的计算已知值，进行换根,利用数学变换加快运算速度。 + +显然,由于1号节点是根，它没有向上走的路径，所以它的向下所有获取的价值，就是总价值，也就是 $g[1] =f[1]$ + +然后考虑 $g$ 数组从 **父亲到儿子** 的转移。 + + + +以样例为例： + +![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401151619931.png) + +我们假设当前以 $1$ 号为根，求出了 $f$ 数组，也就是知道了 $g[1]=f[1]$ ，然后要求出 $g[2]$ 。 + +考虑一下答案的组成。 + +首先考虑 $2$ 号结点的孩子的贡献，也就是图中蓝圈内的部分。这部分显然不会改变，贡献就是 $f[2] −sz[2]$ 。 + +然后考虑父亲方向，也就是图中红圈部分对 $g[2]$ 的贡献。 + +那么除了以 $2$ 号结点，与 $1$ 号结点相邻的其他子树都会对答案产生贡献，也就是说，我们只需要用以 $1$ 号结点为根时的权值减去以 +$2$ 为根的子树的贡献即可，也就是 $g[1]-f[2]-sz[2]$ 。 + +不要忘了加上 +� +n ，也就是初始的白色连通块大小。 + +综合一下上述两种方向的贡献，可以得到： +� +2 += +( +� +2 +− +� +� +� +2 +) ++ +( +� +1 +− +� +2 +− +� +� +� +2 +) ++ +� += +� +1 ++ +� +− +� +� +� +2 +× +2 +g +2 +​ + =(f +2 +​ + −siz +2 +​ + )+(g +1 +​ + −f +2 +​ + −siz +2 +​ + )+n=g +1 +​ + +n−siz +2 +​ + ×2 。 + +推广到所有结点，就可以得到： + +� +� += +� +� +� +� +ℎ +� +� +� ++ +� +− +� +� +� +� +× +2 +g +u +​ + =g +father +u +​ + + + +n−siz +u +​ + ×2 +然后跑两遍 dfs 就愉快的解决啦。 + #### [$CF1324F$.$Maximum$ $White$ $Subtree$](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1324F) **题目大意**