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TangDou/AcWing/Bag/278.md

@@ -131,7 +131,7 @@ int main() {
 $A:$我们可以将结论推广到不同属性的情况下，本题的属性是数量，但如果是最大价值呢？
 我们不难得到需要将$f[0]$初始化为$0$，$f[1\sim n]$初始化为负无穷
 
-为什么要这样设置呢？因为每一个新状态，都需要知道它可以从哪些旧状态转移而来，如果上一个状态是合法的，那么有可能从上一个状态转移而来，但如何标识上一个状态是不是合法呢？比如如果初始化状态值是$0$，并且上一个状态是$0$,表示的是目前的最大值，那是不是合法呢？不好说啊，为什么呢？
+为什么要这样设置呢？因为每一个新状态，都需要知道它可以从哪些旧状态转移而来，如果上一个状态是合法的，那么有可能从上一个状态转移而来，但如何标识上一个状态是不是合法呢？比如如果初始化状态值是$0$，并且上一个状态是$0$,表示的是目前的最大值，那要是不合法呢？不好说啊，为什么呢？
 
 * 上一个状态不合法，没有状态转移过来
 * 上一个状态合法，因为有负数等原因，造成最大值确实为$0$

TangDou/AcWing/Bag/背包问题专题,md

@@ -109,4 +109,66 @@ int main() {
 
 **总结**
 - $01$背包，还是背一维的形式比较好，一来代码更短，二来空间更省，倒序就完了。
-- 二维费用的$01$背包，简化版本的$01$背包模板就有了用武之地，因为三维数组可能会爆内存。
+- 二维费用的$01$背包，简化版本的$01$背包模板就有了用武之地，因为三维数组可能会爆内存。
+
+### 三、$01$背包之恰好装满
+**[$AcWing$ $278$. 数字组合](https://www.acwing.com/problem/content/280/)**
+
+**二维代码**
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+const int N = 110;
+const int M = 10010;
+int n, m;
+int v;
+int f[N][M];
+
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+
+    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; // base case
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        cin >> v;
+        for (int j = 1; j <= m; j++) {
+            // 从前i-1个物品中选择，装满j这么大的空间，假设方案数是5个
+            // 那么，在前i个物品中选择，装满j这么大的空间，方案数最少也是5个
+            // 如果第i个物品，可以选择，那么可能使得最终的选择方案数增加
+            f[i][j] = f[i - 1][j];
+            // 增加多少呢？前序依赖是：f[i - 1][j - v]
+            if (j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
+        }
+    }
+    // 输出结果
+    printf("%d\n", f[n][m]);
+    return 0;
+}
+```
+
+**一维代码**
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+const int N = 10010;
+
+int n, m;
+int v;
+int f[N]; // 在前i个物品，体积是j的情况下，恰好装满的方案数
+
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+
+    // 体积恰好j, f[0]=1, 其余是0
+    f[0] = 1;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        cin >> v;
+        for (int j = m; j >= v; j--)
+            f[j] += f[j - v];
+    }
+    printf("%d\n", f[m]);
+    return 0;
+}
+```