From 539c7889f9c52e5a7383188bd7a59b337c7c67b2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=BB=84=E6=B5=B7?= <10402852@qq.com> Date: Thu, 28 Dec 2023 15:44:01 +0800 Subject: [PATCH] 'commit' --- TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.cpp | 38 +++++------ TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md | 72 +++++++++++++-------- 2 files changed, 63 insertions(+), 47 deletions(-) diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.cpp b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.cpp index 5aef895..3956405 100644 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.cpp +++ b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.cpp @@ -1,50 +1,50 @@ -#include +#include using namespace std; const int N = 1010; int n; int a[N]; -int l[N][N], r[N][N]; // left,right 在 iostream库中用过了，不能用！ +int left[N][N], right[N][N]; // left,right 在 iostream库中用过了，不能用！ int main() { int T; - cin >> T; + scanf("%d", &T); while (T--) { - cin >> n; - for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; + scanf("%d", &n); + for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); - for (int len = 1; len <= n; len++) - for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) { + for (int len = 1; len <= n; len++) // 枚举长度 + for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) { // left[i][j],从i到j int j = i + len - 1; if (len == 1) - l[i][j] = r[i][j] = a[i]; + left[i][j] = right[i][j] = a[i]; // DP初始值 else { - int L = l[i][j - 1], R = r[i][j - 1], X = a[j]; + int L = left[i][j - 1], R = right[i][j - 1], X = a[j]; if (R == X) - l[i][j] = 0; + left[i][j] = 0; else if (X < L && X < R || X > L && X > R) - l[i][j] = X; + left[i][j] = X; else if (L > R) - l[i][j] = X - 1; + left[i][j] = X - 1; else - l[i][j] = X + 1; + left[i][j] = X + 1; - L = l[i + 1][j], R = r[i + 1][j], X = a[i]; + L = left[i + 1][j], R = right[i + 1][j], X = a[i]; if (L == X) - r[i][j] = 0; + right[i][j] = 0; else if (X < L && X < R || X > L && X > R) - r[i][j] = X; + right[i][j] = X; else if (R > L) - r[i][j] = X - 1; + right[i][j] = X - 1; else - r[i][j] = X + 1; + right[i][j] = X + 1; } } if (n == 1) puts("1"); else - printf("%d\n", l[2][n] != a[1]); + printf("%d\n", left[2][n] != a[1]); } return 0; diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md index 9d49c55..80362d8 100644 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md +++ b/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1322.md @@ -70,21 +70,18 @@ $$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为 **必胜局面** 有了上面推的$left[i][j]$唯一性，得出一个有用的推论： **对于任意非负整数 $x \neq left(i,j)$，$\large (x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j)$为必胜局面** -#### 5、定义$L$和$R$ -因为下面的讨论中出现的$L$和$R$的含义不是很好理解，我们先把这个概念理清楚： - -![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/cccc1a0f80d1475adcf8096aa9e35ff0.png) +#### 5、疑问 +博弈论的题目都是可以通过动态规划来递推的。 -**$Q$**：为什么要这么定义$L$和$R$呢？ -答：博弈论的题目都是可以通过动态规划来递推的。 -为什么呢？你想啊，最终的胜利，肯定不是从天下直接掉下来的，是一步步取得的，也就是前序状态会直接影响后面的状态，所以 -> **博弈论 $\Leftrightarrow $ 动态规划 $\Leftrightarrow $ 递归** +**$Q$:为什么定义先手必败，而不是定义先手必胜呢？** +答：因为上面证明过定义 **先手必败** 的动态规划结果数组，是肯定存在并且是唯一的.存在且唯一的，可以递推出来，如果定义的是 **先手必胜**,根据博弈论的知识，我们知道，必胜的策略不唯一，不方便递推。而如果我们采用的是 **先手必败** 这样的定义，那么由于它的存在性和唯一性，所以，只要不是它就是必胜局面！ +**$Q$:怎么递推？** 递推嘛，就是类似于 **数学归纳法**,先求出初始状态是多少，然后假设$i \sim j-1$这段已经计算出$left[i][j-1],right[i][j-1]$了，现在想依赖于这两个数值推导出$left[i][j],right[i][j]$,怕写的太长麻烦，就定义了$L=left[i][j-1],R=right[i][j-1]$ -**$Q$:那为什么是定义先手必败，而不是先手必胜呢？** -答：因为上面证明过定义先手必败的动态规划数组，是肯定存在并且是唯一的，这样才能正常计算啊。 +![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/cccc1a0f80d1475adcf8096aa9e35ff0.png) + 考虑三个问题： - ① 初始值 @@ -93,50 +90,69 @@ $$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为 **必胜局面** > **注：答案在哪，并不是和递推式相关，而是和状态表示相关，一定要注意** + **① 初始值** -$\large L[i][i]=R[i][i]=a_i$ +$\large left[i][i]=right[i][i]=a_i$ 当只有一堆石子时($only$ $i$)，我在这堆前面添加一堆，个数和这堆一样多，对于**两堆相同的石子**，**后手进行和先手对称的操作**,你咋干我就咋干，我拿完，你瞪眼~, **先手必败** **② 答案在哪** -**先手必败** $\Leftrightarrow \ L[2][n]=a_1$ -> **解释**：如果$L[2][n]$与$a[1]$相等，就意味着本来挺好的$a[2] \sim a[n]$,结果，前面放上了一个$a[1]$,而加上的$a[1]$使得现在的局面必败，先手必败。 +**先手必败** $\Leftrightarrow \ left[2][n]==a[1]$ , **先手必胜** $\Leftrightarrow \ left[2][n]!=a[1]$ +> **解释**：$a[2] \sim a[n]$,前面放上了一个$a[1]$, +> 根据定义$left[2][n]$代表在$a[2]\sim a[n]$之前放上一个数，可以使得放后的局面必败。 +> 现在放上去的是$a[1]$,可以它偏偏等于$left[2][n]$这个令人讨厌的数字,面对这样的局面，天生是死局，先手必败。 + **③ 递推式** -* 变化方法：从左侧拿走一些石子或者从右侧拿走一些石子 -* 让我们使用$left[i][j-1]$和$right[i][j-1]$来表示$left[i][j]$和$right[i][j]$,形成$DP$递推关系 +* 变化方法：从左侧拿走一些石子或者从右侧拿走一些石子,我们需要考虑在一个局面确定后，在此局面上左侧、右侧添加一个什么数字（石子个数），才能使得变化后的局面必败。 + +* $left[i][j-1]$和$right[i][j-1]$表示$left[i][j]$和$right[i][j]$,形成$DP$递推关系 -#### 分类讨论 +递推式需要分类讨论 -- **特殊情况:$L=R=0$** -若 $R=0$ 则 $L=R=0$，此时 $x>\max\{L,R\}$，也就是说 $L=0$ 和 $R=0$ 都属于 $Case$ $5$，故其它 $Case$ 满足 $L,R>0$。 +先把 **特殊情况** 说清楚： -令 $\displaystyle \large X=a[j](x>0)$ +**$\large L=R=0$** +若 $R=0$ 则 $L=0$ > 注：因$R=0$,表示在[$i$,$j-1$]确定后，右侧为$0$就能满足[$i$,$j-1$]这一段为先手必败,此时，左侧增加那堆个数为$0$就可以继续保持原来的先手必败，即$L=0$,而且已经证明了$L=R=0$是唯一的。 +此时 $X>\max\{L,R\}$，也就是说 $L=0$ 和 $R=0$ 都属于 $Case$ $5$，故其它 $Case$ 满足 $L,R>0$。 + +令 $\displaystyle \large X=a[j](X>0)$ + +下面，我们按$X$与$R$的大小关系，划分为三种情况，分别进行讨论： +$$ +\large \left\{\begin{matrix} +X=R & \\ +XR & \left\{\begin{matrix} X \leq L \\X>L \end{matrix}\right. +\end{matrix}\right. +$$ + * $X=R$（$Case$ $1$） - 最简单的情况——根据 $R=right[i][j-1]$ 的定义，$X=R$则区间 $[i,j]$ 是必败局面，因此左边啥也不能添，添了反而错，故 + 根据 $R=right[i][j-1]$ 的定义，$X=R$则区间 $[i,j]$ 是必败局面，因此左边啥也不能添，添了反而错 $$\large left[i][j]=0$$ * $X * ② $X \geq L$，即 $L \leq X < R$（$Case$ $3$） - * **结论**：$$\large left[i][j]=X+1$$ + * **必胜策略**： + 当右侧石子个数为$X$时，$\large left[i][j]=X+1$.即在右侧石子个数确定为$X$后，如果在左侧添加一堆石子，个数为$X+1$，就可以保证当前局面先手必败。 * **证明**： 即 **求证** $(X+1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},X)$为 **必败局面** ,其中 $L \leq X R$ * ① $X≤L$，即 $R < X \leq L$（$Case$ $4$） - * 结论：$$\large left[i][j]=X-1$$ + * **必胜策略**：$$\large left[i][j]=X-1$$ * **证明**： * 若先手拿最左边一堆，设拿了以后还剩 $z$ 个石子。 - * 若 $z \geq R$，则后手将最右堆拿成 $z+1$ 个石子，保证左侧比右侧多$1$个石子,就能回到 $Case$ $4$ 本身，递归证明即可。 + * 若 $z \geq R$，则后手将最右堆拿成 $z+1$ 个石子，保证左侧比右侧少$1$个石子,就能回到 $Case$ $4$ 本身，递归证明即可。 * 若 $0R$），由 $right[i][j-1])$ 的定义知此时是必败局面。 @@ -170,7 +186,7 @@ $\large L[i][i]=R[i][i]=a_i$
* ② $X>L$，即 $X>\max\{L,R\}$（$Case$ $5$） - * **结论**：$$\large left[i][j]=x$$ + * **必胜策略**：$$\large left[i][j]=x$$ * **证明**： 设先手将其中一堆拿成了 $z$ 个石子。 * 若 $z>\max\{L,R\}$，后手将另一堆也拿成$z$个，回到 $Case$ $5$，递归证明。