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@ -70,21 +70,18 @@ $$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为 **必胜局面**
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有了上面推的$left[i][j]$唯一性，得出一个有用的推论：
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**对于任意非负整数 $x \neq left(i,j)$，$\large (x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j)$为必胜局面**
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#### 5、定义$L$和$R$
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因为下面的讨论中出现的$L$和$R$的含义不是很好理解，我们先把这个概念理清楚：
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#### 5、疑问
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<font color='red' size=4><b>博弈论的题目都是可以通过动态规划来递推的</b></font>。
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**$Q$**：为什么要这么定义$L$和$R$呢？
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答：<font color='red' size=4><b>博弈论的题目都是可以通过动态规划来递推的</b></font>。
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为什么呢？你想啊，最终的胜利，肯定不是从天下直接掉下来的，是一步步取得的，也就是前序状态会直接影响后面的状态，所以
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> **博弈论 $\Leftrightarrow $ 动态规划 $\Leftrightarrow $ 递归**
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**$Q$:为什么定义先手必败，而不是定义先手必胜呢？**
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答：因为上面证明过定义 **先手必败** 的动态规划结果数组，是肯定存在并且是唯一的.存在且唯一的，可以递推出来，如果定义的是 **先手必胜**,根据博弈论的知识，我们知道，必胜的策略不唯一，不方便递推。而如果我们采用的是 **先手必败** 这样的定义，那么由于它的存在性和唯一性，所以，只要不是它就是必胜局面！
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**$Q$:怎么递推？**
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递推嘛，就是类似于 **数学归纳法**,先求出初始状态是多少，然后假设$i \sim j-1$这段已经计算出$left[i][j-1],right[i][j-1]$了，现在想依赖于这两个数值推导出$left[i][j],right[i][j]$,怕写的太长麻烦，就定义了$L=left[i][j-1],R=right[i][j-1]$
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**$Q$:那为什么是定义先手必败，而不是先手必胜呢？**
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答：因为上面证明过定义先手必败的动态规划数组，是肯定存在并且是唯一的，这样才能正常计算啊。
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考虑三个问题：
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- ① 初始值
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@ -93,50 +90,69 @@ $$\large \underbrace{x,a_i,a_{i+1},\cdots,a_j}_{A(x)}$$ 都为 **必胜局面**
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> **注：答案在哪，并不是和递推式相关，而是和状态表示相关，一定要注意**
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**① 初始值**
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$\large L[i][i]=R[i][i]=a_i$
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$\large left[i][i]=right[i][i]=a_i$
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当只有一堆石子时($only$ $i$)，我在这堆前面添加一堆，个数和这堆一样多，对于**两堆相同的石子**，**后手进行和先手对称的操作**,你咋干我就咋干，我拿完，你瞪眼~, **先手必败**
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**② 答案在哪**
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**先手必败** $\Leftrightarrow \ L[2][n]=a_1$
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> **解释**：如果$L[2][n]$与$a[1]$相等，就意味着本来挺好的$a[2] \sim a[n]$,结果，前面放上了一个$a[1]$,而加上的$a[1]$使得现在的局面必败，先手必败。
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**先手必败** $\Leftrightarrow \ left[2][n]==a[1]$ , **先手必胜** $\Leftrightarrow \ left[2][n]!=a[1]$
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> **解释**：$a[2] \sim a[n]$,前面放上了一个$a[1]$,
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> 根据定义$left[2][n]$代表在$a[2]\sim a[n]$之前放上一个数，可以使得放后的局面必败。
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> 现在放上去的是$a[1]$,可以它偏偏等于$left[2][n]$这个令人讨厌的数字,面对这样的局面，天生是死局，先手必败。
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**③ 递推式**
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* 变化方法：从左侧拿走一些石子或者从右侧拿走一些石子
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* 让我们使用$left[i][j-1]$和$right[i][j-1]$来表示$left[i][j]$和$right[i][j]$,形成$DP$递推关系
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* 变化方法：从左侧拿走一些石子或者从右侧拿走一些石子,我们需要考虑在一个局面确定后，在此局面上左侧、右侧添加一个什么数字（石子个数），才能使得变化后的局面必败。
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* $left[i][j-1]$和$right[i][j-1]$表示$left[i][j]$和$right[i][j]$,形成$DP$递推关系
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#### 分类讨论
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递推式需要分类讨论
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- **特殊情况:$L=R=0$**
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若 $R=0$ 则 $L=R=0$，此时 $x>\max\{L,R\}$，也就是说 $L=0$ 和 $R=0$ 都属于 $Case$ $5$，故其它 $Case$ 满足 $L,R>0$。
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先把 **特殊情况** 说清楚：
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令 $\displaystyle \large X=a[j](x>0)$
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**$\large L=R=0$**
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若 $R=0$ 则 $L=0$
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> <font color='red'><b>注：因$R=0$,表示在[$i$,$j-1$]确定后，右侧为$0$就能满足[$i$,$j-1$]这一段为先手必败,此时，左侧增加那堆个数为$0$就可以继续保持原来的先手必败，即$L=0$,而且已经证明了$L=R=0$是唯一的。</b></font>
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此时 $X>\max\{L,R\}$，也就是说 $L=0$ 和 $R=0$ 都属于 $Case$ $5$，故其它 $Case$ 满足 $L,R>0$。
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令 $\displaystyle \large X=a[j](X>0)$
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下面，我们按$X$与$R$的大小关系，划分为三种情况，分别进行讨论：
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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X=R & \\
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X<R & \left\{\begin{matrix} X<L \\X \geq L \end{matrix}\right. \\
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X>R & \left\{\begin{matrix} X \leq L \\X>L \end{matrix}\right.
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\end{matrix}\right.
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$$
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* $X=R$（$Case$ $1$）
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最简单的情况——根据 $R=right[i][j-1]$ 的定义，$X=R$则区间 $[i,j]$ 是必败局面，因此左边啥也不能添，添了反而错，故
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根据 $R=right[i][j-1]$ 的定义，$X=R$则区间 $[i,j]$ 是必败局面，因此左边啥也不能添，添了反而错
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$$\large left[i][j]=0$$
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* $X<R$
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* ① $X<L$，即 $X< \min\{L,R\}$（$Case$ $2$）
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* **结论**：
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$$\large left[i][j]=X$$
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* **必胜策略**：
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当右侧石子个数为$X$时，$\large left[i][j]=X$.即在右侧石子个数确定为$X$后，如果在左侧添加一堆石子，个数为$X$，就可以保证当前局面先手必败。
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* **证明**：
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即 **求证** $\large (X,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},X)$为必败局面,其中$X< \min\{L,R\}$
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由于最左边和最右边的两堆石子数量相同，后手可进行和先手 **对称** 操作，后手必将获得一个形如$(y,a_i,a_{i+1},⋯,a_{j−1})$ 或 $(a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 的局面,其中: $0<y < X<\min\{L,R\}$
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由于最左边和最右边的两堆石子数量相同，后手可进行和先手 **对称** 操作，当先手把某一侧的石子拿完后，后手必将获得一个形如$(y,a_i,a_{i+1},⋯,a_{j−1})$ 或 $(a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},y)$ 的局面,其中: $0<y < X<\min\{L,R\}$
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**只有左侧为$L=left(i,j-1)$这个唯一值时，才是必败态，现在不是$L$，而是$y<min(L,R)$，所以后手必胜,即先手必败**, **证毕**。
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**只有左侧为$L=left(i,j-1)$这个唯一值时，才是必败态，现在不是$L$，而是$y<min(L,R)$，所以后手必胜,即先手必败**。
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* ② $X \geq L$，即 $L \leq X < R$（$Case$ $3$）
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* **结论**：$$\large left[i][j]=X+1$$
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* **必胜策略**：
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当右侧石子个数为$X$时，$\large left[i][j]=X+1$.即在右侧石子个数确定为$X$后，如果在左侧添加一堆石子，个数为$X+1$，就可以保证当前局面先手必败。
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* **证明**：
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即 **求证** $(X+1,a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1},X)$为 **必败局面** ,其中 $L \leq X <R$
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@ -153,10 +169,10 @@ $\large L[i][i]=R[i][i]=a_i$
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* $X>R$
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* ① $X≤L$，即 $R < X \leq L$（$Case$ $4$）
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* 结论：$$\large left[i][j]=X-1$$
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* **必胜策略**：$$\large left[i][j]=X-1$$
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* **证明**：
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* 若先手拿最左边一堆，设拿了以后还剩 $z$ 个石子。
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* 若 $z \geq R$，则后手将最右堆拿成 $z+1$ 个石子，<b>保证左侧比右侧多$1$个石子</b>,就能回到 $Case$ $4$ 本身，递归证明即可。
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* 若 $z \geq R$，则后手将最右堆拿成 $z+1$ 个石子，<b>保证左侧比右侧少$1$个石子</b>,就能回到 $Case$ $4$ 本身，递归证明即可。
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* 若 $0<z<R$，则后手将最右堆拿成 $z$ 个石子，由 $Case$ $2$ 知此时是必败局面。
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* 若 $z=0$，则后手将最右堆拿成 $R$ 个石子（注意 $Case$ $4$ 保证了此时最右堆石子个数 $>R$），由 $right[i][j-1])$ 的定义知此时是必败局面。
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@ -170,7 +186,7 @@ $\large L[i][i]=R[i][i]=a_i$
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* ② $X>L$，即 $X>\max\{L,R\}$（$Case$ $5$）
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* **结论**：$$\large left[i][j]=x$$
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* **必胜策略**：$$\large left[i][j]=x$$
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* **证明**：
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设先手将其中一堆拿成了 $z$ 个石子。
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* 若 $z>\max\{L,R\}$，后手将另一堆也拿成$z$个，回到 $Case$ $5$，递归证明。
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