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TangDou/Topic/PrefixAndSuffix/P1719_2.cpp

@@ -1,28 +1,29 @@
 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
+const int N = 310;
 
-const int N = 330;
-int n;
 int a[N][N], s[N][N], dp[N];
-int res = INT_MIN;
+int n, ans;
 
 int main() {
     cin >> n;
-    // 前缀和(竖直方向)
     for (int i = 1; i <= n; i++)
-        for (int j = 1; j <= n; j++) {
+        for (int j = 1; j <= n; j++)
             cin >> a[i][j];
-            s[i][j] = s[i - 1][j] + a[i][j]; // 一维前缀和，这可不是二维前缀和
-        }
 
-    // 降维变成一维dp
-    for (int i = 0; i <= n - 1; i++)       // 枚举左上角
-        for (int j = i + 1; j <= n; j++)   // 枚举右下角
-            for (int k = 1; k <= n; k++) { // 枚举每一列
-                dp[k] = max(s[j][k] - s[i][k], dp[k - 1] + s[j][k] - s[i][k]);
-                res = max(res, dp[k]);
+    for (int j = 1; j <= n; j++)
+        for (int i = 1; i <= n; i++)
+            a[i][j] += a[i - 1][j];
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        for (int k = 1; k <= i; k++) {
+            for (int j = 1; j <= n; j++) {
+                int gap = a[i][j] - a[i - k][j];
+                dp[j] = max(dp[j - 1] + gap, gap);
+                ans = max(dp[j], ans);
             }
-    // 输出
-    cout << res << endl;
+        }
+    }
+    cout << ans;
     return 0;
-}
+}

TangDou/Topic/【前缀和与差分】题单.md

@@ -330,34 +330,102 @@ int main() {
 ```
 
 **$O(N^3)$算法**【选读】
-> **引子**：
-> 给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。第一行是一个正整数$N$，表示了序列的长度。($N<=200000$)
-> 
-这是 <font color='red' size=4><b>$P1115$最大子段和</b></font> 的描述，也就是本题的一维版本。
+该题算是$P1115$ 最大子段和的一个升级版，其实思想差不多，都是$DP$，只不过该题需要先进行一个 **矩阵压缩** ， 即二维变一维。
 
-$DP$方程：`dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])` $a[i]$ 表示这个数列的第$i$项。
+**矩阵压缩**
 
+假设有一个矩阵：
 ```cpp {.line-numbers}
-#include<bits/stdc++.h>
-using namespace std;
-const int N = 200100;
-int ans = INT_MIN;
-int n;
-int a[N] , dp[N];
-
-int main(){    
-    cin>>n;
-    for(int i=1;i<=n;i++){
-        cin>>a[i];
-        dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);
-        ans=max(ans,dp[i]);
-    }
-    printf("%d\n",ans);
-    return 0;
-}
+-5 6  4
+1 -2  6
+2  1 -3
+```
+如何对它进行压缩呢，其实不难，类比一下：如果我们把一行看做一个数，这里看做三个数$a,b,c$,那么将这三个相邻数的进行不同的组合，将这个新的组合视为一个新的数，这就是进行压缩处理，例如$a,b,c$可以组合为
+$\{[a],[ab],[abc],[b],[bc],[c]\}$，而矩阵压缩也类似。
+
+先设置一个变量$mx$用于保存 **压缩后的一维数组的最大子序列和**。
+
+- **① 第一次我们取第一行**
+```cpp {.line-numbers}
+-5 6 4
+```
+则其最大子序列和为$10$，$mx=10$。
+
+- **② 第二次取第一二行**
+```cpp {.line-numbers}
+-5 6 4
+1 -2 6
+```
+注意现在开始是矩阵压缩的 **精髓**，我们将每一列的数进行相加，将多行变为一行。
+第一列：$-5+1=-4$
+第二列：$6+(-2)=4$
+第三列：$4+6=10$
+
+所以压缩后的一维数组为：
+```cpp {.line-numbers}
+-4 4 10
+```
+则其最大子序列和为$14$，$mx=14$。
+
+
+- **③ 第三次取第一二三行**
+
+```cpp {.line-numbers}
+-5 6  4
+1 -2  6
+2  1 -3
 ```
 
+对每一列进行压缩：
+第一列：$-5+1+2=-2$
+第二列：$6+(-2)+1=5$
+第三列：$4+6+(-3)=7$
 
+所以压缩后的一维数组为：
+
+```cpp {.line-numbers}
+-2 5 7
+```
+则其最大子序列和为$12$，$mx=14$。
+
+**-  ④ 第四次取第二行：**
+```cpp {.line-numbers}
+1 -2 6
+```
+则其最大子序列和为$6$，$mx=14$。
+
+**- ⑤ 第五次取第二三行：**
+```cpp {.line-numbers}
+1 -2  6
+2  1 -3
+```
+
+对每一列进行压缩：
+第一列：$1+2=3$
+第二列：$-2+1=-1$
+第三列：$6+(-3)=3$
+
+所以压缩后的一维数组为：
+```cpp {.line-numbers}
+3 -1 3
+```
+
+则其最大子序列和为$5$，$mx=14$。
+
+**- ⑥ 第六次取第三行：**
+```cpp {.line-numbers}
+2 1 -3
+```
+
+则其最大子序列和为$3$，$mx=14$。
+
+最后求得这个矩阵最大的子矩阵和为$14$
+
+也就是第一二行的三四列
+```cpp {.line-numbers}
+ 6 4
+-2 6
+```
 
 **$Code$**