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TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md

@@ -90,32 +90,42 @@ void get_mobius(int n) {
 
 **题解**
 
-考虑在$[1, n]$ 中，有多少个数是$x^2$的倍数? 显然是$⌊\frac{n}{x^2}⌋$个。
+先来求一下 **平方数因数** 的数有多少个：
+
+在$[1, n]$ 中，有多少个数是$x^2$的倍数? 显然是$⌊\frac{n}{x^2}⌋$个。
 
 那 $⌊\frac{n}{x^2}⌋$ 就是答案了吗？当然不是，有大量的数被重复计算了。
 
-例如 $36$，它等于$2^2\times 3^2$ ，在枚举 $2$ 和 $3$ 的时候它就会被重复计算。
+例如 $36$，它等于$2^2\times 3^2$ ，在计算 $2$ 和 $3$ 的时候它会被重复计算。
 
-怎么办呢？加加减减弄对呗！
+怎么办呢？
 
-利用容斥的思想，$1$到$n$以内有平方因数的数有$\large \frac{n}{2^2}+\frac{n}{3^2}+\frac{n}{5^2}-\frac{n}{6^2}...$。
-> **注**：为什么没有$4^2$呢？这是因为$4^2=2^2 \times 2^2$,在计算$2^2$的个数时，已经计算过了，同理，合数都可以拆分成质数的乘积，我们只要计算质数就可以了。
-但是，$6^2=2^2\times 3^2$这样的数字比较特殊，它会被在计算$2^2$时计算一遍，在计算$3^2$时又计算了一遍，计算重复了，需要再扣除掉$\frac{n}{6^2}$个,这就是容斥原理。
+利用容斥思想，$1$到$n$以内有平方因数的数有$\large \frac{n}{2^2}+\frac{n}{3^2}+\frac{n}{5^2}-\frac{n}{6^2}...$。
+> **注**：
+> ① 为什么没有$4^2,8^2$呢？这是因为$4^2=4 \times 2^2,8^2=16\times 2^2$,在计算$2^2$的个数时，已经计算过了，同理，合数都可以拆分成质数的乘积，我们只要计算质数的平方就可以了。
+② 但是 $6^2=2^2\times 3^2$这样的数字比较特殊，它会被在计算$2^2$时计算一遍，在计算$3^2$时又计算了一遍，计算重复了，需要再扣除掉$\frac{n}{6^2}$个,这里可以看出来符合容斥原理。
 
-**$Q$:即然这是容斥原理，那和莫比乌斯函数有什么关系呢？**
-答：你从现实意义上去看看：
+**$Q$:即然这是容斥原理，和莫比乌斯函数有什么关系？**
+答：从现实意义上去看看：
 - $2,3,5$都是一个质数因子，它的系数是$1$
-- $6$有两个质数因子，系数就是$-1$,
+- $4=2^2$,按莫比乌斯函数的说法，系数为$0$,无贡献
+- $6 = 2 \times 3$,有两个质数因子，系数是$-1$
+
 这不就是莫比乌斯函数的定义吗？
 
-可知以上式子 $\displaystyle =-\sum_{2 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*(n/d^2)$
-所以无平方因数的数就是求补集=$\displaystyle n-(-\sum_{2 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*(n/d^2))=n+\sum_{2 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*(n/d^2)$个。
+可知以上式子 $\displaystyle =-\sum_{2 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*⌊\frac{n}{d^2}⌋$
+> **注**：为什么只枚举到$\sqrt{n}$,而不是到$n$呢？这是因为：$d>\sqrt{n}$时，$⌊\frac{n}{d^2}⌋$恒等于$0$，再继续也是无贡献，只需要枚举到$\sqrt{n}$即可。
 
-变形合并,$d=1,\mu(d)=\mu(1)=1,n/d^2=n/1=n$，发现这个式子可以合并成$\displaystyle \sum_{1 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*(n/d^2)$
+所以无平方因数的数就是 **求补集**=$\displaystyle n-(-\sum_{2 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*⌊\frac{n}{d^2}⌋)=n+\sum_{2 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*⌊\frac{n}{d^2}⌋$个。
+
+变形合并,$d=1,\mu(d)=1$(莫比乌斯的分段函数求得)
+$\mu(d)*⌊\frac{n}{d^2}⌋=\mu(1)*(n/1^2)=1*n=n$
+
+此时可以发现这个式子，第一项也可以合并进来，合并成
+$$\displaystyle \sum_{1 \leq d \leq \sqrt{n}} \mu(d)*⌊\frac{n}{d^2}⌋$$
+
+$⌊\frac{n}{d^2}⌋$是整除分块的基本形式，用整除分块优化，区间的数值都是一样的，但每项的符号有加有减，一个个算太慢了，可以给$μ(x)$预处理出前缀和，这样直接用$O(1)$时间计算前缀和，再乘上整除分块的数值就行了~
 
-$⌊\frac{n}{d^2}⌋$是整除分块的基本形式，用整除分块优化，这样区间的数值都是一样的，但符号有加有减，一个个算太慢了，可以给$μ(x)$预处理出前缀和，这样直接用$O(1)$时间计算前缀和，再乘上整除分块的数值就行了~
-> **注**：
-> $d>\sqrt{n}$时，$⌊\frac{n}{d^2}⌋$恒等于$0$，只需要枚举到$\sqrt{n}$即可。
 
 #### $Code$
 ```cpp {.line-numbers}